Teorema de Bloch, Energía, Electrón libre

Es más difícil pensar en el caso de partículas libres, porque no es natural ponerlo en un enrejado y no separar los bordes de la Zona Brilloun. Sin embargo, si desea hacer tal cosa, la dispersión se vería como (b) en la figura a continuación para una elección arbitraria de espaciado de celosía$a$:

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¿Por qué esto es tan? Es porque has hecho algo periódico en el espacio real. Cuando haces eso, el espacio recíproco también se vuelve periódico. (Esta es precisamente la razón por la que existe una red recíproca). Ahora, observe la energía de la banda inferior etiquetada junto a (d) en la figura. (La brecha aquí es irrelevante, pero deja más claro a qué me refiero como la banda inferior). De hecho, esto es periódico al igual que su ecuación y puede ver que para una banda específica :

$$\begin{equation} \frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{\hbar^2(k+G)^2}{2m} \end{equation}$$

Además, para un valor específico de$k$Puedes tener más de una banda. Creo que te equivocas al pensar que solo hay una banda para el modelo de electrones libres. De hecho, si divides el espacio real en$N$diferentes unidades de espaciado$a$, conseguirás$N$bandas, aunque la mayoría de ellas estarán desocupadas. Puedes ver que en el límite que$a\rightarrow\infty$, recuperamos la habitual dispersión de partículas libres.

La formula

$$E = \frac{\hbar^{2}}{2m} |k|^{2}$$ es válido en las proximidades de $k = 0$, esto se llama aproximación de banda parabólica, que es, como sugiere el nombre, solo una fórmula aproximada. Con respecto al cálculo real de la energía, debe calcular los valores propios del hamiltioniano del sistema periódico, luego el teorema intenta decir que $$\mathcal{H}_{k} \psi(k) = \mathcal{H}_{k+K} \psi(k+K)$$ a partir de la cual se produce la equivalencia de los valores de energía.

Con respecto a la segunda pregunta, es muy importante darse cuenta de que la fuerza real sobre una partícula en un potencial no proviene de un valor constante de un potencial, sino de su gradiente. Nuevamente, si tuviera que calcular los valores propios del hamiltoniano en un potencial donde$V = 0$en todas partes, obtendrías el mismo resultado que si estuvieras calculando la misma ecuación con, digamos,$V = 42$.