teorema de Bloch

Aquí hay una respuesta simple:

Calculemos el momento de una partícula con una función de onda de Bloch

$$\begin{eqnarray} \left.\langle x \right| \hat{p}\left|\Psi \rangle\right. &=& -i\hbar \left(\frac{d}{dx}\right) u_k(x) e^{i k x} \\ &=& -i \hbar \left( i k u_k(x) e^{ikx} + u_k'(x)e^{ikx}\right) \\ &=& \left( pu_k(x) - i\hbar u_k'(x)\right)e^{ikx} \end{eqnarray}$$

donde en la última línea definimos$p\equiv \hbar k$. Esto muestra bastante claramente que la función de onda de Bloch no es una función propia del operador de cantidad de movimiento. Entonces, aunque siempre puedes descomponer la función de onda en ondas planas$e^{ikx}$, y cada componente es un estado propio de cantidad de movimiento con cantidad de movimiento$p=\hbar k$, las funciones de Bloch no son estados propios de momento. Por lo tanto,$k$en$u_k(x)e^{ikx}$no es el impulso del estado de Bloch. Tenga en cuenta, sin embargo, que si$u_k(x)=\text{constant}$de modo que$u_k'(x)=0$, entonces obtenemos

$$\left.\langle x \right|\hat{p} \left| \Psi \rangle \right. = pu_k(x)e^{ikx}=p\left.\langle x \ |\Psi \rangle \right. = \left.\langle x \right|\ p \left| \Psi \rangle \right.$$ o en otras palabras

$$\hat{p}\left|\Psi\rangle\right. = p\left|\Psi \rangle\right. .$$

Haga una pregunta separada para la zona de Brillouin. Me gustaría responder a esto, pero pertenece a una pregunta separada.

No puedes mezclar el impulso del cristal$\vec{k}$con el momento actual del electrón, porque en el cristal se rompe la simetría de traslación real. Es decir, traslade una distancia muy pequeña, el sistema cambia, por lo que el impulso real no es un buen número cuántico.

Puedes comprobar eso$\psi_{nk}=\psi_{nk+K}$y$E_{nk}=E_{nk+K}$, de modo que$\psi_{nk}$y$\psi_{nk+K}$en realidad describen el mismo estado cuántico, por lo tanto, siempre se puede traducir el momento del cristal fuera de 1BZ a él.