Relación de dispersión cerca de las zonas de Brillouin - Potenciales periódicos

Estoy tratando de entender los potenciales periódicos y los potenciales periódicos débiles de los esquemas de zona reducida. De la definición de ψ k :

ψ k ( X ) = ∑ GRAMO C k − GRAMO mi i ( k − GRAMO ) X

entiendo como ψ k = ψ k + norte gramo cuando gramo es el vector reticular recíproco más pequeño. Como la suma es infinita, un simple reetiquetado demuestra la periodicidad de la función de onda en k − s pag a C mi y por tanto vemos que se lleva la misma periodicidad a la relación de dispersión de energía mi k = mi k + norte gramo . Pero si eso es cierto entonces, cualquier vector de onda que difiera solo por un vector de red recíproco (ya sea + gramo , + 2 gramo , + 3 gramo , etc.), ¡entonces la energía será la misma! Entonces, no importa cuál sea el vector de onda, habrá infinitas funciones de bloque con la misma energía y la función de onda debe ser una superposición de cada una de ellas. En el electrón libre la función de onda debe ser:

ψ = ∑ norte mi i ( k + norte gramo ) X

así que el límite de la zona de brillouin no tiene nada especial... Sé que esto no es cierto, pero todo el concepto de bandas, periodicidad en el espacio k y relaciones de dispersión periódica me está matando, no puedo entender qué es tan especial en el límites de zona para no considerar otros términos en la superposición. Por favor, manténgase en una dimensión, esto ya es difícil.

Adicional: este obstáculo provino originalmente de un problema en Oxford Solid State Basics donde se le pide que explique por qué la función de onda en el límite 1st BZ debería ser:

| ψ ⟩ = A | k ⟩ + B | k + GRAMO ⟩

No tengo idea de por qué este es el caso solo en el límite de la zona y no en todos los vectores de onda. k ya que la relación de dispersión es periódica.

Por qué mi k = mi k + norte gramo ? ¿Me estoy perdiendo de algo?
Como las funciones de onda son las mismas, los valores propios son los mismos, es decir, las energías

Respuestas (2)

Los estados que difieren en un vector reticular recíproco son el mismo estado (es decir, no estados diferentes con la misma energía). Esto es parte del enunciado del teorema de Bloch.

Este hecho se utiliza a menudo para varios trucos en el mapeo y la discusión de la zona de Brillouin, que a veces se considera "extendida" y, a veces, "envuelta" en el intervalo. [ − GRAMO / 2 , GRAMO / 2 ] . El problema citado en la pregunta trata de este caso: en el centro de la zona de Brillouin, los estados pueden considerarse como ondas planas, es decir, podemos despreciar la existencia del potencial periódico. Envolviendo las ondas planas con espectro

ϵ ( k ) = ℏ 2 k 2 2 metro , k ∈ [ − ∞ , + ∞ ]
a la primera zona de Brillouin obtenemos una serie de bandas
ϵ norte ( k ) = ℏ 2 ( k + norte GRAMO ) 2 2 metro , k ∈ [ − GRAMO 2 , + GRAMO 2 ] , norte = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . .
En los bordes de la zona de Brillouin no se puede despreciar la existencia del potencial periódico, ya que los pares de bandas tienen casi la misma energía, por ejemplo, para k = GRAMO / 2 − q , dónde 0 < q ≪ GRAMO / 2 :
ϵ norte ( GRAMO 2 − q ) = ϵ ( GRAMO 2 − q + norte GRAMO ) ≈ ϵ ( GRAMO 2 + q + norte GRAMO ) = ϵ ( − GRAMO 2 − q − norte GRAMO ) = ϵ ( GRAMO 2 − q − ( norte + 1 ) GRAMO ) = ϵ − ( norte + 1 ) ( GRAMO 2 − q ) ,
eso es
ϵ norte ( k ) ≈ ϵ − norte ( k − GRAMO ) = ϵ − ( norte + 1 ) ( k ) .
Luego, esta casi degeneración se resuelve usando la teoría de la perturbación degenerada, es decir, resolviendo exactamente el par de estados degenerados, que en este caso son | k + norte GRAMO ⟩ y | k − ( norte + 1 ) GRAMO ⟩ . (Mi notación puede diferir de la del problema, por lo que debe resolverlo usted mismo).

La respuesta es bastante buena y ayudó mucho, pero todavía no entiendo algo: dado que el espectro de energía tiene forma cuadrática, siempre hay una doble degeneración (en 1dim) mi k = mi − k ¿Por qué no lo explicamos en la teoría de perturbaciones?
No entiendo por qué cerca del centro de la BZ los estados son ondulatorios y podemos despreciar el potencial periódico...
EDITAR: ¡Creo que lo tengo! El potencial periódico solo actúa sobre los puntos de la red recíproca, por lo que si k está lejos de cualquier GRAMO entonces se desprecia el efecto del potencial. Pero me queda una duda: ¿no debería ser la función de onda, en general ψ = A mi i k X + B mi − i k X para k en el centro de una BZ?
Los estados son como ondas cerca del centro de BZ porque esta es la aproximación de electrones casi libres. El límite opuesto es la aproximación de unión estrecha , donde los estados están localizados en los átomos y hay saltos débiles entre ellos.
En general, tiene funciones de onda de bloque con ± k , por lo que podría formar combinaciones de seno/coseno de ellos. Las cosas son más complejas en los cristales reales. Es posible que desee buscar un buen libro sobre física del estado sólido, como Ashcroft-Mermin o Kittel.
Estoy siguiendo a Ashcroft pero ha resultado ser bastante difícil.
Kittel tiene dos: el súper fácil y el súper difícil.
Kittel tiene 2 libros? Estoy siguiendo la "introducción a la física del estado sólido"
Puede que me equivoque... a decir verdad, mis libros de texto estaban en ruso, por lo que nunca estoy seguro de su origen, también había uno de Anselm, entre los reputados.
Por cierto, ¿puedo preguntar si obtenemos alguna información útil al observar la transformada de Fourier en lugar de la serie del potencial periódico? Será solo un montón de bits de dirac que nos dice "dónde" en el espacio recíproco actúa ... ¿o no?
No estoy seguro de lo que quiere decir: el potencial es continuo, pero observamos su transformada de Fourier cuando calculamos el elemento de matriz entre las ondas planas.

Según el argumento de su comentario, eso no es cierto. Para electrones que no interactúan en el modelo de gelatina, H j mi yo = T j mi yo ( k . mi . ) . Por lo tanto,

H j mi yo ψ k → , σ = ℏ 2 k → 2 2 metro ψ k → , σ
ψ k → , σ = 1 V mi i k → ⋅ r → x σ
Entonces, uno puede ver que el valor propio no es periódico. Por lo tanto, no puedes decir mi k = mi k + norte gramo ya que la naturaleza de la energía es cuadrática.

¿Pero no es el argumento que di lo que implica esta respuesta? física.stackexchange.com/a/243793/181235
Ese es un buen punto. De la respuesta que leí, sin duda, la relación de dispersión es periódica y es por eso que tenemos diferentes zonas de Brillion que se parecen entre sí debido a la naturaleza periódica. Sin embargo, decir que absoluto mi k = mi k + norte gramo es un poco ambiguo. Puede notar que si eso sucede, podemos dibujar la relación de dispersión periódicamente, como una cadena, pero ese no es el caso. Espero que puedas ver la discrepancia del valor propio de la energía.
Relación de dispersión cerca de las zonas de Brillouin - Potenciales periódicos
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