Así que tengo una gran confusión con QM aplicado al estado sólido. El siguiente es un resumen de lo que sé, lo que creo que sé y lo que sé que no sé. Espero generar una discusión que ayude a los usuarios de QM, pero no expertos, como yo en el futuro.
El teorema de Bloch es una declaración de simetría si estás en una red perfecta (infinita, sin defectos, cero K). Debido a la naturaleza de esta simetría, la función de onda tiene que tener una naturaleza periódica (la parte exp(ik)). Esto está bien, y en gran medida no sorprende (aunque es muy elegante).
Aquí podemos hablar de espacio, que son sólo los armónicos de la red cristalina. Podemos hablar de cuántos electrones/agujeros pueden contener, etc. Llamamos -espacio "momento" espacio porque la transformada de Fourier del operador de posición es el operador de momento. Físicamente, el espacio son modos de vibraciones reticulares. Estos modos de la red cristalina se denominan fonones.
Pero el cristal no es infinito, la temperatura no es 0 y la red no está libre de defectos.
Digamos que tengo una nanopartícula, de unos pocos miles de átomos más o menos colocados de acuerdo con una red (que no tiene por qué ser necesariamente la red principal, es decir, podría ser la red de un cuasi-cristal). Habrá "defectos", tensión superficial, energía superficial, posiblemente un límite de grano, y la forma de la partícula estará en constante evolución (diferente de cero ). Todas estas son "imperfecciones" que violan los supuestos del teorema de Bloch.
Ahora, el teorema de Bloch no se aplica, pero de alguna manera queremos usarlo de todos modos porque hay cierta periodicidad dentro del grupo, al menos localmente. Simultáneamente, nos gustaría tomar prestado de nuestra respuesta analítica al átomo H (orbitales s, p, d, f).
Y aquí dejo de entender nada de nada. Se ha introducido un nuevo concepto que es la densidad de estado parcial/proyectada (pdos). Pero, ¿qué representa pdos, es decir, qué es el espacio? ¿Qué quieren decir con "parcial" qué están proyectando cuando hablan de "proyectado"? ¿Por qué y cómo identifican los orbitales f, d, ect? ¿Cómo se leen estos gráficos?
¡Todo esto y no hemos empezado a hablar de giro!
Teorema de Blochs
Bueno, tiene toda la razón: casi todas las suposiciones del Teorema de Bloch se violan incluso en el sistema físico más simple: hubo y nunca habrá un cristal que establezca las suposiciones. Sin embargo, ofrece resultados decentes. Vamos a tomar una duda tras otra:
Tamaño : es tan simple como eso: cuanto más grande sea el cristal, mejor resultado obtendrá con Bloch. Creo que es bien imaginable que una función de onda de un electrón ubicado en el medio del cristal es 99,9999% de la función de onda que predice el teorema de Bloch, mientras que uno en la superficie no lo es. Pero al aumentar el tamaño se obtiene una disminución en la relación superficie/volumen. Esto significa que si usa el Teorema de Bloch, el porcentaje de funciones de onda que acertará tiende cada vez más al 100%. Los cristales utilizados para medidas no nanométricas casi siempre cumplen esta condición, por lo que si el Teorema de Blochs es una buena aproximación para el 99,9% de las funciones de onda, ¿por qué no utilizarlo? El borde donde el teorema se considera bueno o malo no se puede cuantificar muy bien.
Temperatura : Incluir el movimiento de los átomos y el movimiento de los electrones en un solo paso es complicado. Es por eso que uno tiende a desacoplar ambos (ver Born-Oppenheimer-Aproximation ), de modo que en el primer paso de los cálculos, a menudo se asume que los átomos están en reposo y los electrones en movimiento (por supuesto, solo si no está interesado en las propiedades de los fonones) . Esto permite una aplicación del Teorema de Bloch al problema. La experiencia demuestra que funciona y, en la mayoría de los casos, puede incluir efectos de electrones y fonones después. Así que aquí la respuesta por la que usamos el teorema de Bloch es: porque funciona de todos modos (como una aproximación).
Impurezas : el número de impurezas suele ser muy pequeño en comparación con el número de átomos correctamente alineados. Por tanto, nuevamente, el Teorema de Bloch es una buena aproximación.
Densidad parcial de estados
Es un poco difícil seguir su pregunta, porque el concepto de DOS parcial no requiere necesariamente el Teorema de Bloch.
Supongamos que observamos cierta energía en el DOS completo. La energía tiene una función de onda correspondiente en el cristal. Ahora puede observar o analizar matemáticamente la función de onda resultante y su simetría. La función de onda se puede aproximar mediante funciones de onda de las funciones s,p,d,f,... -como las que ya conocemos. Así que si tenemos por ej. (en una notación heurística) una función de onda que se aproxima bien mediante una función 0.8*s-like + 0.1*p-like + ... podrías asignar a la Energía en el DOS un 80% de carácter s y un 10% de p- carácter y así sucesivamente. Dado que las funciones similares a s,p,... son originalmente funciones alrededor de un solo átomo, las funciones similares a s,p,... en la función a granel deben entenderse como un promedio de cada átomo contribuyente en la celda unitaria.
Esto se puede transferir a un s-DOS, un p-DOS, etc. (esta es la "proyección" en los estados s,p,...) que, por supuesto, se suman al DOS completo.
Según mis cálculos, la mejor manera de entender el Teorema de Bloch es hacer las matemáticas.
En primer lugar, solo consideramos un retículo perfecto con cierta periodicidad y puede ser descrito por algún retículo recíproco. Luego, a partir de la periodicidad de la red (consideremos una cadena 1D con periodicidad de L), tenemos la relación del conmutador .
Para un cristal finito, mediante el empleo de la condición de frontera periódica y la operación de traslación por L, podemos tener el Teorema de Bloch, que indica la forma de la función propia de energía en este cristal para el electrón (tenga en cuenta que también tomamos la aproximación de un solo electrón ).
Para comprender cómo se puede aplicar el teorema de Bloch a la situación real, solo piense en la teoría de la perturbación: al construir algunos modelos y agregar esos términos de perturbación, podemos tener una buena aproximación para la situación.
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