intervalo kkk para la primera zona de Brillouin

Question

intervalo kkk para la primera zona de Brillouin

hombre de la lluvia

Si resolvemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en 1D para un potencial periódico $V(x)$ con función de onda $\psi(x)$ sujeto a una condición de frontera periódica: $\psi(x) = \psi(x + Ga)$ , dónde $a$ es el periodo de $V(x)$ y $G$ es un entero positivo de modo que la longitud de la red $L = G a$ , entonces la forma general de $\psi(x)$ es dado por $ψ_{k} (X) = {mi}^{i k X} {tu}_{k} (X),$ $\psi_k(x) = e^{ikx} u_k(x),$ con $u_k(x) = u_k(x+a)$ y $k = \frac{2\pi g}{Ga}, g \in \mathbb{Z}$ . Este es el famoso teorema de Bloch.

Pregunta:

Se dice que $k$ no está determinada únicamente por $\psi_k(x)$ y la periodicidad de $u_k(x)$ . No veo la razón por la que esto es así.

Para la primera zona de Brillouin, el intervalo de impulso $k$ suele estar dada por

[- \frac{π}{a}, \frac{π}{a}) .

$\left[-\frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a} \right).$

Pregunta:

¿Por qué no incluimos el punto $\frac{\pi}{a}$ ?

El libro de texto que estoy usando es The Wave Mechanics of Electrons in Metals de Stanley Raimes (página no. 198).

Respuestas (1)

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jahan claes · Answer 1

di que sabes $\psi_n(x)$ . voy a mostrar que $\psi_n(x)$ Se puede escribir como $e^{ikx}u_n(x)$ para un número infinito de valores diferentes de $k$ y $u_n$ . Supongamos que conoce una descomposición $\psi_n(x)=e^{ikx}u_n(x)$ . El teorema de Bloch garantiza que existe tal descomposición. Entonces también podemos escribir

ψ_{norte} (X) = {mi}^{i (k + \frac{2 π norte}{a}) X} {mi}^{- \frac{2 π i norte}{a}} {tu}_{norte} (X)

$\psi_n(x) = e^{i(k+\frac{2\pi N}{a})x} e^{-\frac{2\pi i N}{a}}u_n(x)$ dónde

N \in Z

$N\in \mathbb Z$ es cualquier entero. si definimos

\bar{k} \equiv k + \frac{2 π N}{a}

$\bar k\equiv k+\frac{2\pi N}{a}$ ,

{\bar{u}}_{n} (x) \equiv e^{- \frac{2 π i N}{a}} u_{n} (x)

$\bar{u}_n(x)\equiv e^{-\frac{2\pi i N}{a}}u_n(x)$ , entonces

{\bar{u}}_{n} (x)

$\bar u _n(x)$ es periodico con periodo

a

$a$ y

ψ_{n} (x) = e^{i \bar{k} x} {\bar{u}}_{n} (x)

$\psi_n(x)=e^{i\bar k x}\bar u_n(x)$ . De este modo,

ψ_{n} (x)

$\psi_n(x)$ se puede descomponer de muchas formas posibles.

Usamos esta libertad para exigir que $k\in\left[-\frac\pi a,\frac\pi a\right)$ . No incluimos AMBOS $\pm\frac\pi a$ , ya que uno puede convertirse en el otro estableciendo $N=\pm 1$ en la derivación anterior.

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hombre de la lluvia

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