¿Ortonormalidad de la función de onda de Bloch?

hay este libro de texto que me está dando problemas desde hace un tiempo:

Muestra que las funciones de onda de Bloch se pueden escribir como

$$\Psi_{n\vec{k}}\left(\vec{r}\right) = \frac{1}{\sqrt{V}}e^{i\vec k \vec r}u_{n\vec k}\left(\vec r\right),$$ que está bien para mí. También establece que los factores de Bloch $u_{n\vec k}\left(\vec r\right)$puede estar ortonormalizado en el volumen de celda unitario (primitivo) $V_{UC}$: $$\frac{1}{V_{UC}}\int_{V_{UC}}d^3r u^*_{n\vec k}\left(\vec r\right) u_{n'\vec k}\left(\vec r\right) = \delta_{n n'}$$ .

Sin embargo, y aquí comienza mi problema, luego concluye que, por lo tanto, las funciones de Bloch$\Psi_{n\vec{k}}\left(\vec{r}\right)$realizar

$$\int_V d^3r \Psi^*_{n\vec{k}}\left(\vec{r}\right) \Psi_{n'\vec{k'}}\left(\vec{r}\right)=$$ $$=\frac 1 V \sum_\vec{R} \int_{V_{UC}\left(\vec R\right)}d^3r e^{-i\vec k \left(\vec R + \vec r\right)} u^*_{n\vec k}\left(\vec R + \vec r\right) e^{i\vec {k'} \left(\vec R + \vec r\right)} u_{n'\vec{k'}}\left(\vec R + \vec r\right)=$$ $$=\frac 1 N \sum_{\vec R} e^{i\left(\vec{k'}-\vec{k}\right)\vec R} \frac{1}{V_{UC}}\int_{V_{UC}} d^3r u^*_{n\vec{k}}\left(\vec r\right) u_{n'\vec{k'}}\left(\vec r\right)=$$ $$=\delta_{\vec{k'}\vec{k}}\delta_{n'n}$$ Vectores de lattice $\vec R$y volumen de cristal $V = N V_{UC}$.

Pero no entiendo las dos últimas líneas. Quiero decir, la integral en la penúltima línea en realidad debería decir$\int_{V_{UC}} d^3r e^{i\left(\vec{k'}-\vec{k}\right)\vec r}u^*_{n\vec{k}}\left(\vec r\right) u_{n'\vec{k'}}\left(\vec r\right)$, ¿no debería? Y, si eso es cierto y no me perdí algo importante ya, no puedo entender cómo eso produciría estos dos$\delta$s ...

Estoy casi seguro de que me perdí algo, pero desesperadamente sigo sin conseguirlo, ¡así que cualquier ayuda sería muy apreciada!

EDITAR

¡Muchas gracias por sus reacciones! Sin embargo, parece que no pude exponer mi problema lo suficientemente claro, así que pensé que sería mejor decirles cuál fue mi enfoque hasta ahora paso a paso para que alguien pueda ver dónde me equivoqué:

Empezando con

$$\int_V d^3r \Psi^*_{n\vec{k}}\left(\vec{r}\right) \Psi_{n'\vec{k'}}\left(\vec{r}\right),$$ Particioné el dominio de integración $V=NV_{CU}$, obteniendo así una suma de integraciones sobre el volumen de la celda unitaria, dando como resultado $$\sum_{\vec R}\int_{V_{UC}} d^3r \Psi^*_{n\vec{k}}\left(\vec{r} + \vec R \right) \Psi_{n'\vec{k'}}\left(\vec{r} + \vec R\right),$$ que resulta ser exactamente la segunda línea cuando se explota $\Psi_{n\vec{k}}\left(\vec{r}\right) = \frac{1}{\sqrt{V}}e^{i\vec k \vec r}u_{n\vec k}\left(\vec r\right)$. Luego procedí a usar $\Psi\left( \vec r + \vec R\right)=e^{i\vec k \vec R}\Psi\left(\vec r\right)$. Pero esto rinde $$\sum_{\vec R} e^{i\left(\vec{k'}-\vec{k}\right)\vec R} \int_{V_{UC}} d^3r \Psi^*_{n\vec{k}}\left(\vec r\right) \Psi_{n'\vec{k'}}\left(\vec r\right)$$ lo cual no está de acuerdo con la tercera línea del libro donde la integral es sobre los factores de Bloch $u_{n\vec k}\left(r\right)$solo.

Sin embargo, incluso suponiendo que esto sea solo un error tipográfico (que no estoy tan seguro ...), me enfrentaría a la integral$\int_{V_{UC}} d^3r e^{i\left(\vec {k'} - \vec k\right)\vec r} u^*_{n\vec{k}}\left(\vec r\right) u_{n'\vec{k'}}\left(\vec r\right)$y no puedo ver cómo esos dos$\delta$s surgiría de eso tampoco.

Gracias a todos nuevamente por sus reacciones y espero saber que mi problema se ha expresado claramente.