¿Por qué la mecánica clásica no sostiene el concepto de partículas idénticas?

La física clásica tiene el concepto de partículas idénticas . Lo que no tiene es el concepto de partículas indistinguibles .

Informalmente, la diferencia es la siguiente: el hombre no puede diferenciar partículas idénticas. Cuando se trata de partículas indistinguibles, Dios no puede diferenciarlas.

Suponga que tiene un protón (No.$1$), y tengo protones (No.$2$). Los juntamos y agregamos un electrón para hacer$^1H_2^+$. Luego lo rompemos y cada uno lleva nuestros protones a casa.

Clásicamente hay dos resultados: tenemos nuestros protones originales o los intercambiamos. Sólo Dios sabe.

Mecánicamente cuánticamente, están entrelazados. Tengo$|p_1p_2\rangle$, y tu tienes$e^{i\phi}|p_2p_1\rangle$. La naturaleza no puede distinguirlos.

Es peor si tú tienes un protón y yo tengo un neutrón. Hacemos deuterio; Golpéalo con un rayo gamma de 2,2 MeV y llévate nuestras partículas a casa. Seguramente tu protón es con el que viniste, así como mi neutrón.

Bueno no. La función de onda isospín de$D$es:

Entonces, si tomas la partícula 1, es 1/2 p y 1/2 n, mientras que la mía es 1/2 n la mitad de p. (En teoría, ninguno de nosotros lo sabe hasta que uno de nosotros mira... y luego tenemos una combinación del Gato de Schrödinger y la paradoja EPR... no entremos ahí).

Sin embargo, en serio, el protón con el que te vas no es el protón con el que entraste, gracias a que los piones son isovectores, y:

Siempre que las partículas se puedan enredar, debe preocuparse por su naturaleza indistinguible. Si, en cambio, reunimos electrones, con un haz de electrones y con un electrón objetivo estacionario, y llevamos a cabo un experimento de dispersión de Møller:

¿Seguramente el electrón disperso pertenece al haz? Por desgracia, no otra vez:

La simetría cruzada asegura que los electrones del objetivo y del haz estén entrelazados, incluso cuando están muy, muy lejos. Demasiado lejos para volver a estar en contacto físico/o intercambiar (o no por mucho tiempo).

Una pregunta es: ¿a qué escala se descompone esto? Creo que el experimento de la doble rendija de Young se ha llevado a cabo con$C_{60}$Bolas Buckey... algunos las considerarían, a 0,7nm, como objetos macroscópicos.

Su pregunta 2. plantea un problema profundo.

Los átomos en un cristal se pueden identificar por dónde están, por lo que generalmente se cuentan como distinguibles cuando se realizan mecánicas estadísticas, como calcular la contribución vibratoria al calor específico del cristal.

Sin embargo, no hay nada en principio que les impida hacer túneles cuánticos e intercambiar lugares. Se ha especulado que esto conduce a un "supersólido", pero algunas pruebas experimentales han resultado ilusorias, por lo que siguen siendo especulativas.

Dos o más partículas aún pueden ser idénticas en la mecánica clásica. Por ejemplo, podemos mirar el hamiltoniano, como sugieres. Pero el concepto no se discute en la mecánica clásica porque no hay motivación para estados indistinguibles.

El concepto de partículas idénticas aparece en las teorías cuánticas debido al concepto más importante de indistinguibilidad de los estados; Resulta que la teoría cuántica funciona mucho mejor cuando las configuraciones que son el resultado de una permutación idéntica del índice de partículas se pronuncian como la misma configuración y, por lo tanto, las funciones psi se limitan a aquellas que obedecen a esta simetría de permutación. Por ejemplo, los electrones en un solo átomo de helio son idénticos, y las funciones psi permitidas son tales que al estudiar cualquier función psi, los dos electrones son indistinguibles.

1. ¿El concepto de conceptos idénticos requiere que la permutación entre dos partículas sea factible físicamente? Por ejemplo, podría imaginar el tránsito de dos electrones en la posición del otro simultáneamente, pero no podría ser factible para las partículas clásicas.

No. La permutación es el intercambio de índices sobre algunas cantidades teóricas, como coordenadas y momentos, no un proceso real.

2. Para dos iones en la red de un cristal sólido, ¿son partículas idénticas?

Depende del modelo. Si el modelo dice que los iones son partículas idénticas, entonces son partículas idénticas. Esto no es necesario; por ejemplo, un ion puede ser silicio, el otro fósforo, y entonces no son idénticos. O un ion puede ser el isótopo de silicio 1, el otro isótopo de silicio 2. Entonces no son idénticos. Cualquiera que sea el caso, dos iones en la red nunca son indistinguibles, porque pueden distinguirse por sus diferentes posiciones en la red.

3. Si tengo un montón de electrones, cuando dos electrones transitan en la posición del otro, ¿cuánto durará la transición? Y durante este período, ¿siguen siendo partículas idénticas?

Los electrones no tienen grados de libertad variables, todos tienen la misma masa y carga y por lo tanto son siempre partículas idénticas, no importa lo que les suceda.

Diría que la mecánica clásica tiene el concepto, al menos teóricamente, de partículas indistinguibles. La indistinguibilidad es algo trivial.

Considere la formulación lagrangiana de la mecánica cuántica en términos de dos fermiones indistinguibles. En la mecánica lagrangiana consideramos todos los caminos posibles, dadas las posiciones inicial y final de los fermiones, y los ponderamos en nuestra integral de caminos por$\exp(i S/\hbar)$, dónde$S$es la acción del camino. Para tener en cuenta las estadísticas de Fermi y la indistinguibilidad, debemos restar los caminos donde se permutan las partículas. Al final, decimos que las partículas han seguido todos los caminos posibles y las sumamos ponderadas por factores de fase. El hecho de que restamos algunos de ellos en lugar de sumar es solo otra parte del factor de fase.

Ahora, ¿qué pasa con las partículas clásicas indistinguibles que obedecen caminos deterministas? Podríamos calcular las trayectorias que minimizan las acciones clásicas sujetas a las dos permutaciones de las condiciones de contorno. Entonces podríamos decir que dependiendo de si las partículas cambiaron de lugar o no, debieron seguir uno de estos caminos o el otro. Pero no podríamos asignar probabilidades a ninguno de estos escenarios sin información adicional, como las distribuciones de probabilidad de las velocidades iniciales.

Para ampliar esta noción de mecánica clásica con incertidumbre, también podríamos incorporar la incertidumbre clásica, como un ruido blanco gaussiano. De esta forma podríamos decir que aunque las partículas siguieran exactamente un camino, podríamos calcular la probabilidad de un camino particular y por lo tanto su peso en el conjunto. Véase, por ejemplo, el extenso texto de Kleinert sobre integrales de trayectoria, que analiza la incertidumbre clásica con cierta extensión.