Modelo Kronig-Penney

Estoy estudiando el modelo de Kronig-Penney tal como se trata en el libro de Kittel: Introducción a la Física del Estado Sólido.

En este modelo se considera un período potencial que es cero en la región [ 0 , a ] (definir como región I), tu 0 en la región [ a , a + b ] (definir como región II) y nuevamente cero en la región [ a + b , 2 a + b ] etc. etc., por lo que el período de repetición es a + b .

Uno puede resolver la ecuación de Schrödinger por separado en la región I y II, produciendo exponenciales complejos en la región I. En la región II uno puede tener tanto exponenciales complejos como reales, dependiendo del signo de tu 0 − ϵ . Kittel toma exponenciales reales sin decir una palabra, pero supongo que uno debería exigir explícitamente que ϵ < tu 0 ? ¿Por qué podemos hacer eso?

Además, las soluciones en la región I y II están unidas al exigir ψ I ( 0 ) = ψ I I ( 0 ) y ψ I ′ ( 0 ) = ψ I I ′ ( 0 ) . Pero entonces llega el paso crucial: Kittel escribe que el teorema de Bloch establece (en este caso específico) que

ψ I I ( a < X < a + b ) = ψ I ( − b < X < 0 ) mi i k ( a + b )
y usa esto para escribir ψ I I ( a ) = ψ I ( b ) mi i k ( a + b ) y lo mismo para los derivados. Estas dos condiciones, junto con las dos anteriores, producen dos ecuaciones que dan una ecuación de consistencia en k , que no tendrá soluciones en ciertas regiones, produciendo brechas de banda, etc.

Tengo algunos problemas para entender esto. Entiendo que la periodicidad del cristal es a + b , pero ¿por qué eso significa que esta combinación ocurre en el exponencial complejo? Además, ¿por qué no podemos decir ψ I I ( a ) = ψ I I ( − b ) mi i k ( a + b ) (además del hecho de que no nos ayudará a resolver el problema)? Realmente no entiendo por qué uno debería unir las dos funciones de onda diferentes de esta manera específica.

Respuestas (1)

(1) La pregunta exponencial real vs imaginaria: como dijiste, si el exponente de la exponencial es real o imaginario depende del signo de tu 0 − ϵ . Bien, tu 0 está fijado por el sistema que está considerando, pero ϵ es un parámetro que puedes ingresar. En otras palabras, usted está preguntando cómo se comporta el sistema en función de ϵ . Así que puedes hacer preguntas donde ϵ es mayor que, menor que o igual a tu 0 . Resulta más útil para el estudio de la conductividad estudiar los estados ligados, lo que significa ϵ < tu 0 Esto se debe a que está interesado en el comportamiento de los electrones que están unidos al sólido, no está disparando electrones desde el infinito al sólido.

(2) La cuestión de la condición de coincidencia: el requisito subyacente es que la función de onda sea continua y diferenciable en todas partes. Se garantiza que sea continua y diferenciable dentro de las dos regiones. 0 < X < a y a < X < a + b , por lo que los únicos lugares donde las cosas pueden salir mal son (I) en a y (II) en 0 (que es lo mismo que a + b ). Puede imponer las condiciones en estos lugares utilizando las coordenadas que desee. En particular, puede imponer la continuidad de la función de onda en la ubicación (I) exigiendo ψ ( a ) = ψ ( − b ) . Si hace esto correctamente, obtendrá la misma respuesta que Kittel, aunque formuló la misma condición usando coordenadas ligeramente diferentes. ψ < ( a ) = ψ > ( a ) . Es un ejercicio útil para ver que esto funciona. La razón principal por la que Kittel no hace las cosas de esa manera es porque es un poco menos eficiente (requiere más trabajo para llegar a la misma respuesta).

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