Vector kk\mathbf{k} reducido en la primera zona de Brillouin

Question

Vector kk\mathbf{k} reducido en la primera zona de Brillouin

fonones
Física
cristales
mecánica cuántica
oscilador armónico
física-del-estado-sólido

David C.

Los primeros límites de la zona de Brillouin están en los vectores de onda. $\mathbf{k}= \pm \pi / a$ , de modo que una curva de dispersión normal se vea así:

Es común identificar la $\mathbf{k}$ vectores con tres coordenadas: $(k_x, k_y, k_z)$ . Estas coordenadas surgen del uso de coordenadas de vector de onda reducidas, como se indica en Dove Introducción a la dinámica de celosía , página 23:

Es una práctica común definir el vector de onda como normalizado por el primer vector de red recíproco que se encuentra a lo largo de la dirección del vector de onda. Esto da sombrero se llama el vector de onda reducido . Para nuestro ejemplo unidimensional, el vector de onda reducido tiene un valor de $1/2$ en el límite de la zona de Brillouin, obtenido dividiendo el vector de onda $a^*/2$ por el vector de red recíproca. Por lo tanto, en común con la mayoría de los otros trabajadores, generalmente mostraremos curvas de dispersión con vectores de onda reducidos entre 0 y 1/2, observando que para celdas unitarias no primitivas, algunos de los límites de zona ocurren con valores de vector de onda reducidos de 1.

Tengo problemas para obtener el vector de onda reducido, por ejemplo, en el primer límite de la zona de Brillouin, $\mathbf{k} = \pi / a$ , no veo por qué este punto en el espacio recíproco es $a^*/2$ .

Noé

Qué es

a *

$a*$ ¿aquí?

David C.

@Michael Si

a

$a$ es el vector de red espacial directa,

a^{*}

$a^{*}$ es el vector de celosía espacial recíproco

nasu

Entonces debería ser obvio. El límite de la zona de Brillouin pasa por el punto medio del vector reticular recíproco de longitud a*. Véase de nuevo la celda de Wigner-Seitz. La BZ es la celda WS en el espacio recíproco.

Noé

¿Es esta pregunta realmente acerca de por qué el primer límite de la zona de brillouin está a la mitad del primer punto de celosía recíproco (en la dirección del empaquetamiento más cercano de todos modos)?

David C.

@Michael Sí... (muchas gracias por todo el esfuerzo)

garyp

No es una respuesta, pero tenga en cuenta que el tamaño de la BZ es

(a^{*} / 2) - (- a^{*} / 2) = a^{*}

$(a^*/2)-(-a^*/2) = a^*$

Noé

Edité mi respuesta, avíseme si algo aún no está claro.

Respuestas (1)

Vector kk\mathbf{k} reducido en la primera zona de Brillouin

@Michael Si $a$ es el vector de red espacial directa, $a^{*}$ es el vector de celosía espacial recíproco
Entonces debería ser obvio. El límite de la zona de Brillouin pasa por el punto medio del vector reticular recíproco de longitud a*. Véase de nuevo la celda de Wigner-Seitz. La BZ es la celda WS en el espacio recíproco.
¿Es esta pregunta realmente acerca de por qué el primer límite de la zona de brillouin está a la mitad del primer punto de celosía recíproco (en la dirección del empaquetamiento más cercano de todos modos)?
No es una respuesta, pero tenga en cuenta que el tamaño de la BZ es $(a^*/2)-(-a^*/2) = a^*$

Noé · Answer 1

Esto es simplemente un cambio de escala de los ejes en $k$ -espacio. Dado que en su ejemplo 1D, el primer punto de red recíproco está en $2\pi/a$ , dividiendo el punto en el límite de la zona de brillouin por este valor da $1/2$ , como se indica en el texto. entonces el punto $a^*/2$ no es , como supuso, la posición del límite de la zona de Brillouin en unidades reducidas, sino el límite en las unidades no reducidas.

Asumo $a^* \equiv 2\pi/a$ es la longitud del vector reticular recíproco, ya que tendría sentido en este contexto.

Editar 1

Para los fonones, la razón por la cual el límite de la zona de Brillouin está a la mitad del primer punto de la red recíproca es que la longitud de onda más corta que puede tener es un cambio de signo de un átomo a otro. Imagine una cadena de átomos con el primero hacia arriba, el segundo hacia abajo, el tercero nuevamente hacia arriba. No hay longitud de onda más corta que esta. También sabemos que las soluciones son ondas planas (en el caso más simple), lo que significa (1D) $s(x) = \mathfrak{Re}(A\cdot e^{ikx})$ , dónde $s(x)$ es la amplitud del átomo en la posición $x$ y $A$ es la amplitud máxima de la oscilación. Para que esto cambie de signo de un sitio a otro, $k\overset{!}{=}\pi/a$ , que puede verificar fácilmente.

En cuanto a cómo construir la primera zona de brillouin, eche un vistazo a cualquier libro de física del estado sólido. Simplemente dibuja líneas desde el origen hasta cada punto de red recíproco y las biseca con un plano perpendicular a la línea. Cada punto al que puede llegar sin cruzar ninguno de estos planos está en la primera zona de brillouin, y los propios planos son los límites.

Editar 2

La zona de brillouin está construida de tal manera que es suficiente considerar todos $k$ -puntos dentro de él, ya que se puede demostrar que son equivalentes a puntos fuera. Sabemos que las olas tienen forma de bloque

s (X) = {mi}^{i k a} tu (X)

$s(x) = e^{ika} u(x)$ dónde

u (x)

$u(x)$ tiene la periodicidad de la red. De esta expresión podemos ver que

k a

$ka$ le da el cambio de fase de un sitio de celosía al siguiente. si ahora

k a

$ka$ es mayor que

π

$\pi$ , decir

π + Δ

$\pi+\Delta$ , este punto de la

k

$k$ -eje es equivalente a

- π + Δ

$-\pi+\Delta$ , porque

e^{i (π + Δ)} = e^{i (π + Δ - 2 π)} = e^{i (- π + Δ)}

$e^{i(\pi+\Delta)}=e^{i(\pi+\Delta -2\pi)}=e^{i(-\pi+\Delta)}$ . Entonces vemos que mirando

k

$k$ -señala hacia arriba

π / a

$\pi/a$ es suficiente para todas las propiedades, porque los puntos exteriores tienen un punto equivalente interior. Y por construcción de la red recíproca (su primer punto en la dirección positiva está en

2 π / a

$2\pi/a$ ), esto es precisamente en

a^{*} / 2

$a^*/2$ .

En mi ejemplo 1D, el primer punto de red recíproco no está en $2 \pi /a$ , Pero en $\pi /a$
El "vector" en sí mismo es $\frac{2\pi}{a}$ . La zona de Brillouin termina a la mitad de este valor.
No... En 1D, Dada la $a$ vector en el espacio directo, el del espacio recíproco es $a^{*}$ y tiene una longitud de $2 \pi /a$ ; porque así se construyen los vectores recíprocos ( $2 \pi \cdot \text{inverse of length}$ )
@DavidC. Tú mismo lo dijiste, el límite de la zona de brillouin está en $\pi/a$ pero a medida que se construyen las zonas de brillouin, esto es a la mitad del primer punto de celosía recíproca.
@noah Estoy de acuerdo en que para una cadena de átomos en la que uno está "arriba" y el otro "abajo", (imagine esto como esférico $s$ orbitales cuya función de onda cambia de signo), se satisface cuando $k = \pi / a$ , como está muy bien explicado en el artículo de Hoffmann ( onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/anie.198708461/pdf ), Figura 7. Sin embargo, esto no significa que el límite de la zona en el espacio recíproco se encuentre en $a^{*} / 2$
Parece rechazar la idea de que este hecho simplemente se deriva de la forma en que se construyen la zona de brillouin y la red recíproca. Traté de explicar esto en la segunda edición.
@noah And by construction of the reciprocal lattice (its first point in the positive direction is at 2π/a), this is precisely at a∗/2.En el espacio real, el primer punto de celosía en la dirección positiva está en $a$ . En el espacio recíproco, el primer punto de la red en la dirección positiva está en $a^{*} = 2 \pi / a$
Sólo estás repitiendo mi declaración. $\pi/a$ está a la mitad de $2\pi/a$ , por lo que el límite está en $a^*/2$

Vector kk\mathbf{k} reducido en la primera zona de Brillouin

David C.

Noé

David C.

nasu

Noé

David C.

garyp

Noé

Respuestas (1)

Noé

David C.

nasu

David C.

Noé

David C.

Noé

David C.

Noé

¿Por qué necesitamos la cuantificación de la vibración de red?

Phonon como transformada de Fourier

¿Por qué la cuantización del vector de onda del fonón no se debe a la mecánica cuántica?

¿Qué es realmente el vector de onda en el contexto de los fonones y la vibración de la red?

Relación de dispersión cerca de las zonas de Brillouin - Potenciales periódicos

¿Por qué las ondas de sonido están asociadas con modos que obedecen a una relación de dispersión lineal?

¿Cuántos átomos hay en la celda unitaria primitiva del diamante?

intervalo kkk para la primera zona de Brillouin

Comprensión de los aspectos técnicos de la cuantificación de ondas elásticas

¿Por qué los fonones son bosones si no pueden ocupar el mismo estado propio?