Teorema 3.55 en Baby Rudin: ¿Cómo dar sentido a la demostración?

Aquí está el Teorema 3.55 en el libro Principios de Análisis Matemático por Walter Rudin, 3ra edición.

Si$\sum a_n$es una serie de números complejos que converge absolutamente, entonces cada reordenamiento de$\sum a_n$converge, y todos convergen en la misma suma.

Ahora aquí está la prueba de Rudin.

Dejar$\sum a_n^\prime$ser un reordenamiento, con sumas parciales$s_n^\prime$. Dado$\varepsilon > 0$, existe un entero$N$tal que$m \geq n \geq N$implica

$$\sum_{i =n}^m \left\vert a_i \right\vert \leq \varepsilon.$$ [Esta relación Rudin la llama (26). ] Ahora elige $p$tal que los enteros $1, 2, \ldots, N$están todos contenidos en el conjunto $k_1, k_2, \ldots, k_p$(usamos la notación de la Definición 3.52). Entonces sí $n > p$, los números $a_1, \ldots, a_N$cancelará en la diferencia $s_n - s_n^\prime$, de modo que $\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert \leq \varepsilon$, por (26). Por eso $\left\{ s_n^\prime \right\}$converge a la misma suma que $\left\{ s_n \right\}$.

Y, finalmente, aquí está la Definición 3.52 de Rudin.

Dejar$\left\{ k_n \right\}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$, sea una secuencia en la que todo entero positivo aparezca una y sólo una vez (es decir,$\left\{ k_n \right\}$es una función 1-1 de$J$sobre$J$, en la notación de la Definición 2.2). Poniendo

$$a_n^\prime = a_n \ \ \ (n= 1, 2, 3, \ldots),$$ Nosotros decimos eso $\sum a_n^\prime$es un reordenamiento de $\sum a_n$.

Y, en aras de la exhaustividad, Rudin utiliza el símbolo$J$para denotar el conjunto de los números naturales.

Ahora mi pregunta es, ¿cómo la relación de Rudin (26) da la conclusión de que$\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert \leq \varepsilon$si$n > p$?

Así es como he podido entender la prueba.

Dado que$\sum \left\vert a_n \right\vert$converge, podemos concluir que$\sum a_n$también converge. Dejar

$$s = \sum_{n =1 }^\infty a_n.$$ Dejar $s_n$, $(n = 1, 2, 3, \ldots)$, sean las sumas parciales de $\sum a_n$. Entonces $$s = \lim_{n \to \infty} s_n.$$ Ahora deja $\sum a_n^\prime$ser un reordenamiento de $\sum a_n$, y deja $s_n^\prime$, $(n = 1, 2, 3, \ldots)$, sean las sumas parciales de $\sum a_n^\prime$.

Mostramos que

$$\lim_{n \to \infty} s_n^\prime = s$$ también. No fue $s_n \to s$como $n \to \infty$, entonces, dado $\varepsilon > 0$, podemos encontrar un número natural $N_1$tal que $$\left\vert s_n - s \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ para todos $n \in \mathbb{N}$tal que $n > N_1$.

No fue$\sum \left\vert a_n \right\vert$converge, por lo que podemos encontrar un número natural$N_2$tal que

$$\sum_{i =n}^m \left\vert a_i \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ para todos $m, n \in \mathbb{N}$tal que $m \geq n \geq N_2$. Entonces podemos concluir que $$\left\vert \sum_{i=n}^m a_i \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ para todos $m, n \in \mathbb{N}$tal que $m \geq n \geq N_2$.

Ahora deja$N = \max \left\{ N_1, N_2 \right\}$. Entonces, para todos$m, n \in \mathbb{N}$tal que$m \geq n > N$, tenemos

$$\left\vert s_n - s \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ y también $$\left\vert \sum_{i=n}^m a_i \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Ahora deja$p$Sea un número natural tal que los números enteros$1, 2, \ldots, N$están todos contenidos en el conjunto$\left\{ k_1, \ldots, k_p \right\}$. Entonces, para todos$n \in \mathbb{N}$tal que$n > p$, vemos que la diferencia$s_n - s_n^\prime$es una suma de algunos términos finitos de la sucesión$\left( a_{N+1}, a_{N+2}, a_{N+3}, \ldots\right)$, y por lo tanto

$$\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Así que si$n \in \mathbb{N}$es tal que$n > \max \{ N, p \}$, entonces nosotros tenemos

$$\left\vert s_n - s_n^\prime \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}$$ y también $$\left\vert s_n - s \right\vert < \frac{\varepsilon}{2}.$$ Por lo tanto, para todos $n \in \mathbb{N}$tal que $n > \max \{ N, p \}$, tenemos $$\left\vert s_n^\prime - s \right\vert \leq \left\vert s_n^\prime - s_n \right\vert + \left\vert s_n - s \right\vert < \varepsilon,$$ de lo que se deduce que $$\lim_{n \to \infty} s_n^\prime = s$$ también.

¿Es correcto mi entendimiento de la prueba del Teorema 3.55 en Baby Rudin? Si es así, ¿mi versión es la misma que la de Rudin? Si no, ¿dónde me he equivocado?

Y, si mi prueba también es correcta pero difiere de la de Rudin, ¿alguien aquí puede completar los detalles en la prueba original de Rudin por mí? Gracias.