Prueba de comparación para series de números complejos

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Prueba de comparación para series de números complejos

análisis
Matemáticas
análisis complejo
secuencias y series
convergencia divergencia

babai

Para Series de Números Reales , tenemos el siguiente teorema. Si $\{a_n\}$ y $\{b**_n**\}$ dos sucesiones de números reales positivos tales que $0\geq a_n \geq k\cdot b_n$ , para algún número real $k$ entonces

$\{b_n\}$ converge $\implies$ $\{a_n\}$ converge
$\{a_n\}$ diverge $\implies$ $\{b_n\}$ diverge

Para series de números complejos , no tenemos orden, por lo tanto, tenemos que modificar nuestra declaración en consecuencia. Dejar $\{z_n\}$ y $\{w_n\}$ ser dos sucesiones de números complejos.

Dejar, $|z_n|\leq k |w_n|$ entonces

$\sum |w_n|$ es convergente implica $\sum z_n$ es absolutamente convergente.
*Mi pregunta es: "¿Podemos decir que $\sum |z_n|$ es divergente implica $\sum w_n$ es divergente."? * (Lo que sé es $\sum |z_n|$ es divergente implica $\sum |w_n|$ no es absolutamente convergente.)

Otra pregunta:

Tengo otra pregunta: si la declaración anterior no es verdadera, ¿cómo demostramos que "si una serie de potencias $\sum a_nz^n$ no es divergente en $z=z_0$ , entonces es divergente para todo $z$ satisfactorio $|z|>|z_0|$ "

Conrado

Como muestra la respuesta a continuación, también obtiene un contraejemplo con secuencias reales; sin embargo, si impone condiciones a los argumentos de

w_{n}

$w_n$ que son el análogo de la positividad para los reales (por ejemplo, si pertenecen a la misma

π - α

$\pi-\alpha$ intervalo de longitud, para todos los n grandes y algunos positivos fijos pequeños

α

$\alpha$ ), puede usar desigualdades estándar que invierten la desigualdad triangular habitual para obtener un resultado similar

Respuestas (1)

Prueba de comparación para series de números complejos

Como muestra la respuesta a continuación, también obtiene un contraejemplo con secuencias reales; sin embargo, si impone condiciones a los argumentos de $w_n$ que son el análogo de la positividad para los reales (por ejemplo, si pertenecen a la misma $\pi-\alpha$ intervalo de longitud, para todos los n grandes y algunos positivos fijos pequeños $\alpha$ ), puede usar desigualdades estándar que invierten la desigualdad triangular habitual para obtener un resultado similar

jose carlos santos · Answer 1

No podemos. Llevar $z_n=\dfrac1n$ , $w_n=\dfrac{(-1)^n}n$ , y $k=1$ .

Tengo otra pregunta relacionada. Por favor, ¿me ayudarías con eso?
Esa es otra pregunta. Por favor publíquelo como tal. Y si mi respuesta fue útil, podría considerar la posibilidad de aceptarla.
Está algo relacionado. Espero probar la segunda declaración, uno necesita usar el tipo anterior de declaración, seguramente lo aceptaré.

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babai

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jose carlos santos

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jose carlos santos

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Teorema 3.55 en Baby Rudin: ¿Cómo dar sentido a la demostración?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Para funciones holomorfas, si {fn}→f{fn}→f\{f_n\}\to f uniformemente en conjuntos compactos, entonces lo mismo es cierto para las derivadas.

¿Es esta serie ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergente o convergente ?

Determine si esta serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

¿Verifiqué correctamente la convergencia de esta serie?

Mostrando que la secuencia es una secuencia de Cauchy

Serie absolutamente convergente de funciones complejas.

Convergencia de la serie ∑∑\sumununu_n= ∑∑\sumn!xn(n+1)nn!xn(n+1)n\frac{n! x^n}{(n+1)^n}

¿Cuál es exactamente la relación y cuáles son las diferencias entre los límites multivariables y los límites complejos?