Para funciones holomorfas, si {fn}→f{fn}→f\{f_n\}\to f uniformemente en conjuntos compactos, entonces lo mismo es cierto para las derivadas.

Dejar$K \subset \Omega$ser compacto Desde$\Omega$está abierto, para algunos$\epsilon>0$, tenemos$K_\epsilon = K+\overline{B(0,2\epsilon)} \subset \Omega$, y el conjunto$K_\epsilon$es compacto

Suponer$a \in K$. Entonces nosotros tenemos$f'(a) = {1 \over 2 \pi i} \int_{\gamma_a} { f(z) \over (z-a)^2 } dz$y$f_n'(a) = {1 \over 2 \pi i} \int_{\gamma_a} { f_n(z) \over (z-a)^2 } dz$dónde$\gamma_a$es un círculo en sentido antihorario de radio$\epsilon$centrado en$a$.

Desde$f_n \to f$uniformemente encendido$K_\epsilon$, y tenemos$|f'(a)-f_n'(a)| \le {1 \over 2 \pi } {l(\gamma_a) \over \epsilon^2} \sup_{z \in K_\epsilon} |f(z) -f_n(z)|$, vemos eso$f_n' \to f'$uniformemente encendido$K$también.

Resulta que$f_n^{(k)} \to f^{(k)}$uniformemente encendido$K$para cualquier$k$.

¡No hay que tomarlo demasiado en serio! El espacio$H(\Omega)$de funciones holomorfas en$\Omega$dotado de la topología de convergencia uniforme sobre conjuntos compactos es completo y por tanto un espacio de Frechet. Si sabes que la derivada de una función holomorfa es nuevamente holomorfa, obtienes del teorema del gráfico cerrado que el mapa lineal$D:H(\Omega)\to H(\Omega)$,$f\mapsto f'$es continuo Eso$D$tiene gráfico cerrado se sigue, por ejemplo, de su continuidad como un mapa$H(\Omega)\to C(\Omega)$.