Determine si ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

Esto definitivamente converge por la prueba de series alternas. El AST pide que los términos sin firmar disminuyan y tengan un límite de 0. En su caso, los términos$\frac{n}{n^2+1}$hacer exactamente eso, por lo que converge.

Ahora, ¿qué sabor de convergencia?

Si toma valores absolutos, la serie resultante$\sum_n \frac{n}{n^2+1}$diverge Probablemente pueda obtener esto más rápido mediante la comparación de límites: los términos están en el orden de$1/n$. Además, la prueba integral aquí es bastante rápida porque puedes ver el logaritmo.

Para aplicar la comparación de límites, comparemos$\sum_n \frac{n}{n^2+1}$a$\sum_n \frac{1}{n}$. Dividiendo un término en el primero por un término en el segundo da

$$(\frac{n}{n^2+1})/(\frac{1}{n}) = \frac{n^2}{n^2+1}.$$ Tomando el límite da $L=1$. Desde $L>0$, ambas series "hacen lo mismo". Desde $\sum_n \frac{1}{n}$diverge, también lo hace $\sum_n \frac{n}{n^2+1}$.

Por lo tanto, converge condicionalmente porque converge, pero la serie de valores absolutos no.

Se puede aplicar la prueba de series alternas directamente, pero un enfoque alternativo es tomar la diferencia con la serie$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}/n$que es bien conocido por converger condicionalmente.

Detalles: dejar$a_n=(-1)^{n-1} n/(n^2+1)$,$b_n=(-1)^{n-1}/n$y$c_n=a_n-b_n$. Entonces

$$c_n=(-1)^{n-1}\left(\frac n{n^2+1}-\frac1n\right) =\frac{(-1)^n}{n(n^2+1)}.$$ Entonces $\sum_n b_n$converge condicionalmente, y $\sum_n c_n$converge absolutamente, entonces $\sum_na_n=\sum_n(b_n+c_n)$converge condicionalmente.

En muchos de estos tipos de problemas, todo se reduce a elegir buenos límites para los términos. Por ejemplo, aumentar un denominador disminuye el tamaño de una fracción (suponiendo que el denominador y el numerador sean positivos, por supuesto). Puedes aumentar el denominador reemplazando 1 por n. Esto da como resultado una fracción más pequeña. Entonces n/(n ² +1) < n/(n ² +n) . Pero n/(n ² +n)= 1/(n+1), y por la prueba integral, eso diverge. Dado que los valores absolutos son más grandes que una serie que diverge, los valores absolutos divergen.

También podemos aumentar el tamaño del término disminuyendo el denominador en 1, obteniendo n/n ² = 1/n.

El siguiente truco es tomar pares de términos. Sabemos que si n es par, entonces b _n = n/(n ² +1) < 1/n. Y si n es impar, entonces b _n = -n/(n ² +1) < -1/(n+1). Entonces, si n es par, entonces b _n + b _n+1 < 1/n - 1/((n+1)+1)

1/n - 1/((n+1)+1) = 1/n - 1/(n+2) = ((n+2)-n)/n(n+2) = 2/n(n +2)

Ahora podemos usar la prueba integral para mostrar que esto converge. Dado que los pares de términos son más pequeños que una serie que converge, converge (tenga en cuenta que aunque no todos los términos de la serie original son positivos, todos los pares de términos suman una cantidad positiva, por lo tanto, esta prueba es válida).