Determine si la serie converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.

Dejar$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$. Entonces, a partir de estimaciones estándar, tenemos que

$$\ln(n+1) = \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x}dx \le H_n \le 1 + \int_{1}^n \frac{1}{x} dx = 1 + \ln(n).$$

De hecho, como se muestra en https://www.math.drexel.edu/~tolya/123_harmonic.pdf , tenemos que

$$\lim_{n \to \infty} \underbrace{H_n - \ln(n)}_{\delta_n} \to \gamma \approx 0.5772.$$

Ahora veamos uno de los bloques de las secuencias de$(2^k - 1)$st término a la$(2^{k+1}-1)$st término. Sabemos que todos los términos en uno de esos bloques tienen el mismo signo. Dejar$a_k$ser la suma de los elementos de la$k$bloquear. Entonces tenemos eso

$$|a_k| = H_{2^{k+1}-1}-H_{2^k-1} = \delta_{2^{k+1}-1}-\delta_{2^k-1} + \ln(2^{k+1}-1) - \ln(2^k-1).$$

Ahora si, enviamos$k$hasta el infinito, vemos que$|a_k| \to \ln(2)$. Así, la serie alterna$a_k$diverge

Ahora deja$S_n$sea ​​la serie parcial de la serie de la pregunta. La serie en la pregunta convergente significa que$S_n$converge como una sucesión. Sin embargo, en ese caso cada subsecuencia de$S_n$converge Sin embargo, acabamos de encontrar una subsecuencia que divergía. Por lo tanto, nuestra serie original diverge.