¿Verifiqué correctamente la convergencia de esta serie?

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¿Verifiqué correctamente la convergencia de esta serie?

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serie divergente
secuencias y series
convergencia divergencia

bijone

Quiero encontrar si la siguiente serie es convergente.

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{(1 + \frac{1}{norte})^{norte} {norte}^{2} - 7 norte}{{norte}^{3} + 3 {norte}^{2} + 1}

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1}$

Utilizo el criterio asintótico para la convergencia de series.

a_{norte} = \frac{(1 + \frac{1}{norte})^{norte} {norte}^{2} - 7 norte}{{norte}^{3} + 3 {norte}^{2} + 1}

$a_n=\frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1}$

tomo tal $b_n$ eso $a_n$ y $b_n$ son asintóticamente similares y que la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty b_n$ es conocida.

b_{norte} = \frac{1}{norte}

$b_n=\frac{1}{n}$

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{a_{norte}}{b_{norte}} = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{(1 + \frac{1}{norte})^{norte} {norte}^{2} - 7 norte}{{norte}^{3} + 3 {norte}^{2} + 1} \frac{norte}{1} = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{(1 + \frac{1}{norte})^{norte} {norte}^{3} - 7 {norte}^{2}}{{norte}^{3} + 3 {norte}^{2} + 1}

$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1} \frac {n}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^nn^3-7n^2}{n^3+3n^2+1}$

el limite es $e$ lo que prueba que $a_n \sim b_n$ .

Entonces desde $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ es divergente, también lo es la serie original.

Estaría agradecido si alguien pudiera revisar esto y decirme si esta solución es correcta.

mfl

Tu argumento es correcto.

Respuestas (1)

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papágris · Answer 1

Tu conclusión es correcta. También puede llegar allí utilizando la prueba de comparación si está interesado. Es decir, que

1 < {(1 + \frac{1}{norte})}^{norte} \frac{1}{{norte}^{3} + 3 {norte}^{3} + {norte}^{3}} \leq \frac{1}{{norte}^{3} + 3 {norte}^{2} + 1}

$1 < \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \\ \frac{1}{n^3+3n^3+n^3}\leq \frac{1}{n^3+3n^2+1}$ para todos

n \geq 1

$n \geq 1$ . Por eso,

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{(1 + \frac{1}{norte})^{norte} {norte}^{2} - 7 norte}{{norte}^{3} + 3 {norte}^{2} + 1} \geq \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{{norte}^{2} - 7 norte}{{norte}^{3} + 3 {norte}^{2} + 1} \geq \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{{norte}^{2} - 7 norte}{{norte}^{3} + 3 {norte}^{3} + {norte}^{3}} = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{{norte}^{2} - 7 norte}{5 {norte}^{3}} = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{5 norte} - \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{7}{5 {norte}^{2}} = \frac{1}{5} \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte} - \frac{7 π^{2}}{30}

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1} \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-7n}{n^3+3n^2+1} \\ \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-7n}{n^3+3n^3+n^3} \\ = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-7n}{5n^3} \\ = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n}-\sum_{n=1}^\infty\frac{7}{5n^2} \\ = \frac{1}{5}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}-\frac{7\pi^2}{30}$

¿Puedes mostrar cómo? $\sum_{n=1}^\infty \frac{7}{5n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{7 \pi}{30}$ ?
Lamentablemente, no puedo hacer nada mejor que decir que es porque $\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$ $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ por lo tanto si multiplicas por $\frac{7}{5}$ obtendrás el resultado. Pero el hecho de que $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ proviene de la función de Riemann-Zeta. No es algo que probablemente encuentre hasta que haya cubierto un análisis bastante complejo. La función de Riemann-Zeta es una herramienta útil para determinar el valor de las sumas de la forma $\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{s}}$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ dónde $s$ es cualquier numero complejo no igual a $1$ .

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bijone

mfl

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papágris

bijone

papágris

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