∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Esta es una tarea que hice hace unos días, mi solución difiere de la solución oficial, pero la conclusión es correcta. Sin embargo, no estoy seguro de si esto es solo una coincidencia, ya que mi solución es muy simple. Le agradezco si pudiera echar un vistazo.

La pregunta:

$\sum_{k=0}^\infty a_k$converge absolutamente y$\sum_{k=0}^\infty b_k$converge ¿Esto implica que$\sum_{n=0}^\infty b_ksin(a_k)$converge?

Así que pensé que porque$\sum_{n=0}^\infty a_k$converge absolutamente tenemos que$\lim{n\to \infty}$de$a_k= 0$.

$$\lim_{x\to 0} \frac {\sin(x)}{x} = 1$$ Por eso pensé: $$\lim_{k\to \infty} \frac {\sin(a_k)}{a_k} = 1$$

Entonces hay algo$N$después de lo cual

$$\sin(a_k) \approx a_k$$

Y$\sum_{n=0}^\infty b_ka_k$converge Así que divido la Serie para

$$S_N = \sum_{k=0}^N b_k\sin(a_k)$$ como:

$$\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) = S_N + \sum_{n=N+1}^\infty b_ka_k$$

Creo que debe estar mal ahora. Pero no puedo ver por qué? Me disculpo por el formato, todavía no soy muy bueno en eso.