Determine si esta serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

Question

Determine si esta serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

análisis
Matemáticas
serie divergente
secuencias y series
convergencia divergencia

atleta

Las series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n^2 + 1}$ ; ¿es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente?

Se supone que esta pregunta vale bastantes puntos, así que aunque pensé que tenía la respuesta usando la prueba de comparación, creo que se supone que debo incorporar la prueba de series alternas.

Respuestas (2)

Determine si esta serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

usuario127.0.0.1 · Answer 1

usuario127.0.0.1

Su serie es convergente por el teorema de Leibniz pero no absolutamente convergente como puede ver en comparación con $\sum \frac{1}{n+1}$

atleta

Consideré el módulo de la secuencia.

\frac{(- 1)^{n} n}{n^{2} + 1}

$\frac{(-1)^n n}{n^2 + 1}$ cual es

\frac{n}{n^{2} + 1}

$\frac{n}{n^2 + 1}$ y luego encontró el límite del módulo de

\frac{(a_{(} n + 1))}{a_{n}}

$\frac{(a_(n+1))}{a_n}$ que pensé que era 0, ¿es así?

usuario127.0.0.1

No, deberías obtener 1 por eso. Solo escribe

\frac{n}{n^{2} + 1} = \frac{1}{n + 1 / n}

$\frac{n}{n^2+1} = \frac{1}{n+1/n}$ así que está claro que

a_{n} \to 0

$a_n\rightarrow 0$ . Pero tienes que demostrar que

a_{n}

$a_n$ está decreciendo monótonamente (por

n > 1

$n\gt1$ )

atleta

¿Cómo es el límite 1? En caso de que no sea mayor que 1, en cuyo caso divergiría, por la prueba.

atleta

en realidad veo lo que quieres decir. Sin embargo, ¿cómo lo compararía con 1/n+1? ¿Qué prueba necesitaría usar?

usuario127.0.0.1

Tienes

\frac{n + 1}{(n + 1)^{2} + 1} \frac{n^{2} + 1}{n} = \frac{n^{3} + n^{2} + n + 1}{n^{3} + 2 n^{2} + 2 n} \to 1

$\frac{n+1}{(n+1)^2+1}\frac{n^2+1}{n} = \frac{n^3+n^2+n+1}{n^3+2n^2+2n}\rightarrow 1$ entonces la prueba de proporción no funciona aquí. ¡Te dije qué hacer en mi respuesta!

usuario127.0.0.1

\frac{n}{n^{2} + 1} = \frac{1}{n + 1 / n} > \frac{1}{n + 1}

$\frac{n}{n^2+1}=\frac{1}{n+1/n}\gt\frac{1}{n+1}$

atleta

Ya veo, solo quería entender qué es exactamente lo que se supone que debo hacer.

Mikasa · Answer 2

La forma en que caminó @Fant es práctica, pero tal vez este enfoque también ayude:

Utilice la prueba integral . Como $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ es una función monotónica decreciente positiva en $x\geq 2$ , entonces la prueba integral entonces $\sum_2^{\infty}f(n)$ converge o diverge si $\int_2^{\infty}f(x)dx$ converge o diverge. Pero la integral claramente diverge, por lo que tenemos aquí lo que @Fant señaló nuevamente.

Determine si esta serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

atleta

Respuestas (2)

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usuario127.0.0.1

usuario127.0.0.1

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Mikasa

¿Verifiqué correctamente la convergencia de esta serie?

Teorema 3.55 en Baby Rudin: ¿Cómo dar sentido a la demostración?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Muestre que una prueba de razón no es concluyente para una serie dada, luego determine si la serie converge/diverge.

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

¿Es esta serie ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergente o convergente ?

Serie alterna: determine si converge de manera absoluta, condicional o diverge mediante la prueba de la serie p alterna.

Combinación alterna de una serie convergente y divergente

Simplificación de series

Mostrando que la secuencia es una secuencia de Cauchy