Serie absolutamente convergente de funciones complejas.

Tengo que hacer el siguiente ejercicio:

Dejar$\{f_n(z)\}_{n\in\mathbb{N}}$una secuencia de funciones complejas, y sea$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$.

Demostrar que: si$\sum_{n=1}^\infty |f_n(z)|$converge, entonces$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$converge

Yo se como demostrarlo para una serie$\sum_{n=1}^\infty z_n$de números complejos con$z_n=x_n+iy_n$porque si$\sum_{n=1}^\infty |z_n|$converge, se puede observar que$|x_n|<|z_n|$y$|y_n|<|z_n|$luego por el criterio de comparación la serie de números reales$\sum_{n=1}^\infty |x_n|$y$\sum_{n=1}^\infty |y_n|$convergen y sabemos para series reales que esto implica que$\sum_{n=1}^\infty x_n$y$\sum_{n=1}^\infty y_n$converger.

si llamamos$R_n=\sum_{k=1}^n x_n$,$I_n=\sum_{k=1}^n y_n$y$S_n=\sum_{k=1}^n z_n$.

Y$\lim_{n \rightarrow \infty}R_n=x$,$\lim_{n \rightarrow \infty}I_n=y$, entonces

Entonces$S_n$converge y$\sum_{n=1}^\infty z_n$lo hace también.

¿Es suficiente llamar$\{w_n\}=\{f_n(z)\}$en mi problema original y solo aplicar esta prueba?

Gracias de antemano.