Tensor de tensión-energía para polvo

Resumen:: Encuentro dos expresiones diferentes para el tensor EM para polvo, y ambas derivaciones me parecen correctas.

Dada la acción para un sistema de polvo

$$S =-\sum m_q \int \sqrt{g_{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}^\mu_q(\lambda)\dot{x}^\nu_q(\lambda)} d\lambda,$$ donde uso el$(+,-,-,-)$Convención de signos. El Tensor Energía-Momento (EMT) se define por la variación de la métrica

$$\delta S = \frac{1}{2}\int T_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} \sqrt{g} d^4x.$$

Para calcular eso, uso dos enfoques diferentes, el primero, porque quiero variar$g^{\mu\nu}$me parece mejor escribir$S =-\sum m_q \int \sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)} d\lambda$. Entonces

$$\delta S = -\sum m_q \int \frac{\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{2\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda.$$

y multiplicando por$1=\int \delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{g}} d^4x$

$$\delta S = -\frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

Donación

$$T_{\mu\nu} = -\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} d\lambda.$$

El segundo enfoque, es haciendo la variación a$g_{\mu\nu}$, haciendo exactamente los mismos pasos que obtengo

$$\delta S = -\frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}^\mu_{q}(\lambda)\dot{x}_{q}^\nu(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g_{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q}^\mu(\lambda)\dot{x}_{q}^\nu(\lambda)}} \delta g_{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

Ahora porque$0=\delta(g_{\mu\nu}g^{\nu\lambda})$Debemos tener$\delta g_{\mu\nu} = -g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}\delta g^{\alpha\beta}$así que encuentro

$$\delta S = \frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

Dando una EMT igual, pero con signo negativo. El segundo parece mejor porque da una densidad de energía acotada por debajo, mientras que el primero no, pero no veo ningún error. Además, debido a que las dos derivaciones son tan similares, no creo que un error algebraico pueda explicar tal diferencia, por lo que el error debe ser conceptual.