Gravedad en dimensiones de espacio-tiempo ddd

Question

Gravedad en dimensiones de espacio-tiempo ddd

gravedad
Física
convenciones
relatividad general
formalismo lagrangiano
espacio-tiempo-dimensiones

Anónimo

Dada la siguiente acción

S = \frac{1}{dieciséis π GRAMO} \int d^{4} X \sqrt{- gramo} (R + a R^{2} + b R_{m v} R^{m v} + C R_{m v λ σ} R^{m v λ σ}),

$S=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x \sqrt {-g}(R+aR^2+bR_{\mu\nu}R^{\mu\nu}+cR_{\mu\nu\lambda\sigma}R^{\mu\nu\lambda\sigma}),$ que está en 4D.

¿Cómo generalizamos esta acción en $d$ dimensión del espacio-tiempo? Por lo cual necesitaré la forma específica de la curvatura escalar, el tensor de Ricci y el tensor de Riemann.
También quiero saber si el factor de proporcionalidad $\frac{1}{16\pi G}$ ¿cambios?

Editado para agregar: una forma en que puedo pensar en responderme a mí mismo es escribir el tensor de Riemann en términos de tensor de Weyl como

R_{m v ρ σ} = C_{m v ρ σ} + \frac{1}{D - 2} ({gramo}_{m ρ} R_{v σ} + R_{m ρ} {gramo}_{v σ} - {gramo}_{v ρ} R_{m σ} - R_{v ρ} {gramo}_{m σ}) - \frac{1}{(D - 1) (D - 2)} R ({gramo}_{m ρ} {gramo}_{v σ} - {gramo}_{m σ} {gramo}_{v ρ})

$R_{\mu\nu\rho\sigma}=C_{\mu\nu\rho\sigma}+\frac{1}{D-2}(g_{\mu\rho}R_{\nu\sigma}+R_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\nu\rho}R_{\mu\sigma}-R_{\nu\rho}g_{\mu\sigma})-\frac{1}{(D-1)(D-2)}R(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho})$ donde uno puede usar la contracción para derivar

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ y

R

$R$ . Pero, ¿hay alguna forma más sencilla?

jerry schirmer

Cambia el 4 por una d. Lo único específico de las cuatro dimensiones es la medida.

usuario67742

Sí, pero entonces ¿el valor de las curvaturas escalares, el tensor de Ricci y el tensor de Riemann en la dimensión d? tambien cual seria el cambio por

\frac{1}{16 π G}

$\frac{1}{16\pi G}$

Fotón

Por supuesto que necesita trabajar con un

d

$d$ -métrica dimensional y recalcular

R

$R$ ,

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ y

R_{μ ν λ σ}

$R_{\mu\nu\lambda\sigma}$ Para el

d

$d$ -métrica dimensional.

π

$\pi$ es una constante universal, si quieres cambiar

G

$G$ depende de ti.

usuario67742

Creo que ahora la pregunta es más clara.

Fotón

Las curvaturas se pueden calcular a partir de la métrica de la misma manera que para

d = 4

$d=4$ porque estas fórmulas no dependen de la dimensión. Solo la métrica ahora es diferente.

Andrés

Como pista, ¿cuáles son las dimensiones (unidades) de: (1) la acción [debe ser independiente de la dimensión del espacio-tiempo], (2) la medida, (3) la curvatura y, por último, pero definitivamente no menos importante en esta pregunta, (4) )

G

$G$ ?

jamals

Las expresiones para las curvaturas en términos de una métrica genérica nunca cambiarán si cambia la dimensión,

d

$d$ . Sin embargo, pueden admitir expresiones equivalentes alternativas más convenientes , como en el caso

d = 2

$d=2$ .

arturo suvorov

En

4

$4$ dimensiones

R^{2} - 4 R_{μ ν} R^{μ ν} + R_{α β γ δ} R^{α β γ δ}

$R^2 - 4 R_{\mu \nu} R^{\mu \nu} + R_{\alpha \beta \gamma \delta} R^{\alpha \beta \gamma \delta}$ forma el invariante de Gauss-Bonnet y se integra a cero de forma trivial. Su acción en

4

$4$ dimensiones es equivalente a la que ha escrito con

c = 0

$c=0$ , mientras en

d > 4

$d > 4$ , la dinámica será diferente cuando

c \neq 0

$c \neq 0$ .

Respuestas (1)

Gravedad en dimensiones de espacio-tiempo ddd

Cambia el 4 por una d. Lo único específico de las cuatro dimensiones es la medida.
Sí, pero entonces ¿el valor de las curvaturas escalares, el tensor de Ricci y el tensor de Riemann en la dimensión d? tambien cual seria el cambio por $\frac{1}{16\pi G}$
Por supuesto que necesita trabajar con un $d$ -métrica dimensional y recalcular $R$ , $R_{\mu\nu}$ y $R_{\mu\nu\lambda\sigma}$ Para el $d$ -métrica dimensional. $\pi$ es una constante universal, si quieres cambiar $G$ depende de ti.
Las curvaturas se pueden calcular a partir de la métrica de la misma manera que para $d=4$ porque estas fórmulas no dependen de la dimensión. Solo la métrica ahora es diferente.
Como pista, ¿cuáles son las dimensiones (unidades) de: (1) la acción [debe ser independiente de la dimensión del espacio-tiempo], (2) la medida, (3) la curvatura y, por último, pero definitivamente no menos importante en esta pregunta, (4) ) $G$ ?
Las expresiones para las curvaturas en términos de una métrica genérica nunca cambiarán si cambia la dimensión, $d$ . Sin embargo, pueden admitir expresiones equivalentes alternativas más convenientes , como en el caso $d=2$ .
En $4$ dimensiones $R^2 - 4 R_{\mu \nu} R^{\mu \nu} + R_{\alpha \beta \gamma \delta} R^{\alpha \beta \gamma \delta}$ forma el invariante de Gauss-Bonnet y se integra a cero de forma trivial. Su acción en $4$ dimensiones es equivalente a la que ha escrito con $c=0$ , mientras en $d > 4$ , la dinámica será diferente cuando $c \neq 0$ .

jamals · Answer 1

En términos de una métrica $g_{ab}$ , el tensor de curvatura de Riemann viene dado por,

R_{b C d}^{a} = \partial_{C} Γ_{d b}^{a} - \partial_{d} Γ_{C b}^{a} + Γ_{C mi}^{a} Γ_{d b}^{mi} - Γ_{d mi}^{a} Γ_{C b}^{mi}

$R^a_{bcd} = \partial_c \Gamma^a_{db} - \partial_d \Gamma^a_{cb} + \Gamma^a_{c e} \Gamma^e_{d b} - \Gamma^a_{de} \Gamma^e_{c b}$

y en consecuencia cambiando $d$ no cambia la fórmula , aunque, por supuesto, las medidas numéricas reales de la curvatura pueden cambiar. Sin embargo, hay casos en los que hay expresiones equivalentes adicionales, porque las cosas pueden simplificarse en ciertas dimensiones. Para el caso $d=2$ , tenemos,

R_{a b C d} = \frac{1}{2} R ({gramo}_{a C} {gramo}_{b d} - {gramo}_{a d} {gramo}_{b C})

$R_{abcd} = \frac{1}{2}R \left(g_{ac}g_{bd} - g_{ad}g_{bc} \right)$

una expresión conveniente debido a las simetrías de los tensores. Muestra que en dos dimensiones, el hecho de que $R=0$ es suficiente para implicar $R_{abcd} = 0$ , es decir, planitud completa de Riemann. Este no es generalmente el caso para una dimensión arbitraria, $d$ , y no es el caso en $d=4$ (donde solemos hacer relatividad general).

Por lo tanto, su expresión no requiere ningún ajuste para general $d$ , excepto $4 \to d$ . Dicho esto, si elige cambiar de $4$ decir, $2$ dimensiones, algunos términos se pueden simplificar ya que, por ejemplo $^\dagger$

\frac{1}{4 π} \int_{METRO} d^{2} X \sqrt{gramo} R = x (METRO)

$\frac{1}{4\pi} \int_M d^2x \, \sqrt{g} \, R = \chi(M)$

es un invariante topológico, la característica de Euler de la variedad. Dicho esto, uno debe tener en cuenta que cambiar la dimensión $d$ de una acción puede tener importantes implicaciones fenomenológicas y físicas, ya que, por ejemplo, la renormalizabilidad depende de $d$ .

$\dagger$ Esta es una consecuencia del teorema de Chern-Gauss-Bonnet que, a su vez, se puede demostrar que se deriva del teorema del índice de Atiyah-Singer , un resultado más general. Tenga en cuenta que se aplica iff $M$ es compacto

Gracias @JamalS, sí, como mencionaste, la forma general del tensor de Riemann viene dada por tu primera expresión. Lo que estoy preguntando es qué hiciste en 2- $d$ pero en n- $d$ . cual seria la forma de medida? cuál sería la forma de Chrisoffel Symbolds para empezar y etc...
@Ilia Todo es igual. la medida en $d$ las dimensiones son solo $d^d x \, \sqrt{|g|}.$
Ok, déjame entender esto correctamente. El tensor de Riemann se define como $R_{ρ σ m v} = \frac{1}{2} (\partial_{m} \partial_{σ} {gramo}_{ρ σ} - \partial_{m} \partial_{ρ} {gramo}_{v σ} - \partial_{v} \partial_{σ} {gramo}_{ρ m} + \partial_{v} \partial_{ρ} {gramo}_{m σ})$ $R_{\rho\sigma\mu\nu}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\partial_{\sigma}g_{\rho\sigma}-\partial_{\mu}\partial_{\rho}g_{\nu\sigma}-\partial_{\nu}\partial_{\sigma}g_{\rho\mu}+\partial_{\nu}\partial_{\rho}g_{\mu\sigma})$ ¿Esta definición es la misma en la dimensión d? ya que por ejemplo en d=2 se simplifica.
esa es exactamente mi pregunta original @JamalS, ¿cuál sería su forma en la dimensión d? también, ¿cuál sería la forma del tensor de Ricci y la curvatura escalar en la dimensión d?
@Ilia Pero te dije en mi respuesta que la fórmula no cambia en ningún $d$ ¡dimensiones!

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