Variando la acción de Dirac con formas diferenciales

La acción de Dirac en un espacio-tiempo curvo se puede escribir en términos de vierbein$\{ e^a \}$y conexión de giro$\{ \omega^{ab} \}$formas diferenciales. Deja que el campo de espinor$\psi$interpretarse como un valor de espinor$0$-formar y definir el$1$-forma$\gamma = \gamma_a e^a$, dónde$\{ \gamma_a \}$son las matrices gamma. La derivada covariante de espinor está dada por

$$D\psi = \mathrm{d} \psi + \frac{1}{4} \omega^{ab}[\gamma_a,\gamma_b] \psi$$

La acción estándar de Dirac toma la forma

$$I = -i\int_M \bar{\psi} \gamma \wedge * D\psi$$

dónde$*$es el operador dual de Hodge. Ahora me gustaría variar esta acción con respecto al velo. En el apéndice de este libro , la ecuación (A.115) afirma que la variación de la acción con respecto al velo está dada por

$$\delta I = \int_M i \bar{\psi} \gamma_a * D \psi \wedge \delta e^a$$

pero no puedo mostrar esto. Aquí está mi intento

$$\delta I = -i \int_M \bar{\psi} \delta \gamma \wedge * D \psi + \bar{\psi} \gamma \wedge \delta (* D \psi) \\= -i \int_M \bar{\psi} \gamma_a \delta e^a \wedge * D \psi + \bar{\psi} \gamma\wedge \delta(* D \psi)$$

donde he asumido las matrices gamma$\{ \gamma_a \}$, a pesar de tener un índice de veilbein, no se ven afectados por la variación, por lo tanto$\delta \gamma = \delta (\gamma_a e^a) = \gamma_a \delta e^a$. El primer término que puedo reorganizar para

$$i \int_M \bar{\psi} \gamma_a * D \psi \wedge \delta e^a$$

donde acabo de invertir el orden del producto de cuña, seleccionando un signo menos. Esto me da la variación que afirma el autor, pero todavía tengo que lidiar con la segunda parte. Esto contiene el término$\delta (* D\psi)$. Sé que el dual de Hodge debería depender del velo porque el autor ha utilizado este hecho en la ecuación (A.107) por lo que esta variación no desaparecerá en general. No estoy seguro de cómo evaluarlo. Idealmente me gustaría que desapareciera.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.