Derivación de las condiciones de cruce de Israel

En la sección 3.1 de este artículo se nos da la acción

$$\mathcal{I}= -\frac{1}{16\pi G_D}\left[\int_{\mathcal{M_1}}d^Dx\sqrt{g_1}(R_1-2\Lambda_1)+\int_{\mathcal{M_2}}d^Dx\sqrt{g_2}(R_2-2\Lambda_2)+2\int_Sd^{D-1}y\sqrt{h}(K_1-K_2)-2(D-2)\int_Sd^{D-1}y\sqrt{h}\mathcal{k}\right]$$

dónde$g_1$,$g_2$son las métricas de dos regiones y$R_1,\Lambda_1$,$R_2,\Lambda_2$son la curvatura de Ricci y las constantes cosmológicas de las dos regiones. Entonces$h$es la métrica en la interfaz y$K_1,K_2$son las curvaturas extrínsecas de las dos regiones en la interfaz mientras que$\mathcal{k}$es el parámetro de tensión de la interfaz.

Cuando variamos la acción, obtenemos las ecuaciones de campo de Einstein de los dos primeros términos (cada uno da las ecuaciones de movimiento para la región respectiva). Cuando variamos los dos últimos términos deberíamos obtener la relación

$$K_{1ab}-K_{2ab}=\mathcal{k}h_{ab}$$

Cuando trato de hacer esto, me quedo atascado cuando varío$\delta K_1$por ejemplo, donde pondría

$$\delta K_1 = \delta(K_{1\mu\nu}h^{\mu\nu})= \delta K_{1\mu\nu}h^{\mu\nu}+K_{1\mu\nu}\delta h^{\mu\nu}$$ a partir de aqui no entiendo como proceder con el$\delta K_{1\mu\nu}$término.