Forma de caja del término cinético y ecuación de Euler-Lagrange

Al consultar el QFT y el modelo estándar de Schwartz, observo que él escribe el término cinético para las especies de campo en una forma un poco diferente de las que aparecen en otra literatura. Por ejemplo, siempre escribimos el término cinético para un campo escalar$\phi$como$\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi$, pero a veces Schwartz lo escribe como$\phi\Box\phi$. Entiendo que son lo mismo hasta un término de divergencia que es irrelevante y simplemente estamos haciendo la integración por partes. En la forma más común, el Lagrangiano se considera como una función del campo y su primera derivada. En la forma de caja de Schwartz, el término cinético contiene las segundas derivadas del campo. Mi pregunta es: ¿Deberíamos considerar el Lagrangiano como una función del campo y su segunda derivada cuando usamos la forma de caja del término cinético y usamos la siguiente forma de la ecuación de Euler Lagrange para derivar la ecuación clásica de movimiento?

dónde$\phi,_\mu$denota las primeras derivadas del campo mientras que$\phi_{,\mu\nu}$denota la segunda derivada del campo y esta es la ecuación de Euler Lagrange para un Lagrangiano que contiene una derivada superior que se deriva del procedimiento habitual de$\delta S=0$. (Traté de usarlo y aparentemente funciona, pero no estoy seguro de si esta es la forma correcta de entender la situación)