Derivación de la ecuación de Einstein de 3 formas a partir de la acción de Palatini

Un estudiante me preguntó un problema de derivación en la ecuación de Einstein de 3 formas obtenida de la acción de Palatini. Publicó algunas fotos en el libro que ha estado leyendo.

Primero derivo la parte gravitacional de la acción de Platini que dice (para simplificar, considero constante cosmológica como cero, por lo que el término desaparece$\int\sqrt{-g}d^4x\;2\Lambda=0$)：

$$\begin{align*} S_G&=\frac{1}{2\kappa}\int d^4x\,\sqrt{-g}R\xrightarrow{\epsilon_{IJKL}e^I\wedge e^J\wedge R^{KL}=-2|e|R\,dx^4} \frac{-1}{4\kappa}\int\epsilon_{IJKL}e^I\wedge e^J\wedge R^{KL}=\frac{-1}{4\kappa}\int \text{Tr}(e\wedge e\wedge R)\\ \delta S_G&=\frac{-1}{4\kappa}\delta\int\text{Tr}(e\wedge e\wedge R)=\frac{-1}{2\kappa}\int\text{Tr}(\delta e\wedge e\wedge R)+\frac{-1}{4\kappa}\int\text{Tr}(e\wedge e\wedge\delta R)\\ &(\text{Tr}(\delta e\wedge e\wedge R)+\text{Tr}(e\wedge\delta e\wedge R)=2\text{Tr}(\delta e\wedge e\wedge R)) \end{align*}$$ Estas dos partes se pueden calcular como $$\begin{align*} \int\text{Tr}(\delta e\wedge e\wedge R)&=\int\text{Tr}(e\wedge R\wedge\delta e)=\int\epsilon_{IJKL} e^I\wedge R^{JK}\wedge\delta e^L\\ \int\text{Tr}(e\wedge e\wedge\delta R)&=\int d\text{Tr}(e\wedge e\wedge\delta\omega)-2\int\text{Tr}(De\wedge e\wedge\delta\omega)=-2\int\text{Tr}(\mathscr{T}\wedge e\wedge\delta\omega)\\ &(R=d\omega+\omega\wedge\omega\;,\;De^I=de^I+\omega^I_J\wedge e^J=\mathscr{T}^I) \end{align*}$$ Entonces ven a la parte del campo de la materia: $$\begin{align*} \delta S_m&=\int d^4x\,\delta(\sqrt{-g}\mathcal{L}_m)\xrightarrow{-g=-\det(g_{\mu\nu})=\det(e)^2=|e|^2}\int d^4x\,\delta(|e|\mathcal{L}_m) =\int|e|d^4x\,\frac{1}{|e|}\delta(|e|\mathcal{L}_m)\\ &=\int\mathcal{V}\frac{1}{|e|}\delta(|e|\mathcal{L}_m)=\int*\left(\frac{1}{|e|}\delta(|e|\mathcal{L}_m)\right)\\ \\ \frac{1}{|e|}\delta(|e|\mathcal{L}_m)&=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}\mathcal {L}_m)}{\delta g_{\alpha\lambda}}\delta g_{\alpha\lambda}=\left(\frac{\delta\mathcal{L}_m}{\delta g_{\alpha\lambda}}-\frac{1}{2}g^{\alpha\lambda}\mathcal{L}_m\right)\delta g_{\alpha\lambda}=-\frac{1}{2}T^{\alpha\lambda}\delta g_{\alpha\lambda}\\ &=-\frac{1}{2}T^{\alpha\lambda}\eta_{NL}(e^{N}_\alpha +\delta^{\lambda}_\alpha \delta^{L}_{N} e_{\lambda}^{L})\delta e_{\lambda}^{L}=-\frac{1}{2}(T^{\alpha\lambda}e_{\alpha L}+T^{\lambda \lambda}e_{\lambda L})\delta e_{\lambda}^{L}=-T_L^\lambda\delta e_{\lambda}^{L}\\ \\ *(T_L^\lambda\delta e_{\lambda}^{L})&=\frac{|e|}{(4-0)!}T_L^\lambda\delta e_{\lambda}^{L}\epsilon_{\mu\nu\rho\lambda}dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho\wedge dx^\lambda=\frac{1}{4}T_L\wedge\delta e^L \end{align*}$$ Por encima de la derivación, he usado el volumen de 4 formas y la definición de 3 formas del tensor de energía-momento $$\begin{align*} \mathcal{V}&=|e|d^4x=\frac{1}{4!}\epsilon_{IJKL}e^I_\mu e^J_\nu e^K_\rho e^L_\lambda dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho\wedge dx^\lambda=\frac{1}{4!}\epsilon_{IJKL} e^I\wedge e^J\wedge e^K\wedge e^L\\ T_L&=|e|T^\lambda_L\eta_\lambda=\frac{|e|}{3!}T^\lambda_L\epsilon_{\mu\nu\rho\lambda}dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho\\ \end{align*}$$ Cuando consideramos dentro del espacio-tiempo de torsión cero ( $\mathscr{T}=0$) entonces encontraremos la ecuación de Einstein en forma de 3: $$\begin{align*} \epsilon_{IJKL} e^I\wedge R^{JK}=\frac{\kappa}{2} T_L \end{align*}$$ Cual es $4\pi G$coeficiente de gravitación en lugar de $2\pi G$en el libro.

¿Alguien podría decirme dónde me equivoqué?