Tensor de tensión-energía 2D de Liouville

Question

Tensor de tensión-energía 2D de Liouville

Física
curvatura
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
teoría del campo conforme
tensión-energía-momentum-tensor

Ezareth

Estoy trabajando en la teoría del campo de Liouville en 2D y trato de seguir principalmente la nota de Harold Erbin sobre la gravedad cuántica en 2D y la teoría de Liouville.

Tengo una pregunta muy simple:

Se considera la acción euclidiana de Liouville que viene dada por

$S_L = \frac{1}{4\pi}\int d^2\sigma\sqrt{h}\left(h^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi+QR\phi+4\pi\mu e^{2b\phi}\right)$

Ahora, para obtener el eom así como el tensor de tensión-energía, tenemos que variar la acción, lo que produce

d_{h} S_{L} = \frac{1}{4 π} \int d^{2} σ \sqrt{h} d h^{m v} [- \frac{1}{2} h_{m v} (h^{ρ σ} \partial_{ρ} ϕ \partial_{σ} ϕ + q R ϕ + 4 π m {mi}^{2 b ϕ}) + (\partial_{m} ϕ \partial_{v} ϕ + q R_{m v} ϕ + q (h_{m v} Δ ϕ - \nabla_{m} \nabla_{v} ϕ))],

$\begin{equation}\delta_hS_L = \frac{1}{4\pi}\int d^2\sigma\sqrt{h}\delta h^{\mu\nu}\left[-\frac{1}{2}h_{\mu\nu}\left(h^{\rho\sigma}\partial_{\rho}\phi\partial_{\sigma}\phi+QR\phi+4\pi\mu e^{2b\phi}\right)\\+\left(\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi+QR_{\mu\nu}\phi+Q(h_{\mu\nu}\Delta\phi-\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\phi)\right)\right] ,\end{equation}$ mientras que la variación wrt

ϕ

$\phi$ da,

d_{ϕ} S_{L} = \frac{1}{4 π} \int d^{2} σ \sqrt{h} d ϕ (- 2 Δ ϕ + q R + 8 π m b {mi}^{2 b ϕ})

$\begin{equation}\delta_{\phi}S_L = \frac{1}{4\pi}\int d^2\sigma\sqrt{h}\delta \phi\left(-2\Delta\phi+QR+8\pi\mu be^{2b\phi}\right)\end{equation}$ La ecuación de movimiento para

ϕ

$\phi$ se dan de la forma habitual y se obtienen

q R [h] - 2 Δ ϕ = - 8 π m b {mi}^{2 b ϕ}

$\begin{equation}QR[h]-2\Delta\phi=-8\pi\mu b e^{2b\phi}\end{equation}$ Si uno considera la métrica plana, entonces esto se reduce a

\partial_{m} \partial^{m} ϕ = 4 π m b {mi}^{2 b ϕ}

$\begin{equation}\partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi=4\pi\mu b e^{2b\phi}\end{equation}$

El tensor de energía de tensión se calcula de la forma habitual utilizando

T_{m v} = - \frac{4 π}{\sqrt{h}} \frac{d S}{d h^{m v}}

$\begin{equation}T_{\mu\nu} = -\frac{4\pi}{\sqrt{h}}\frac{\delta S}{\delta h^{\mu\nu}}\end{equation}$ En las notas, se afirma que esto da

T_{m v} = - (\partial_{m} ϕ \partial_{v} ϕ - \frac{1}{2} h_{m v} h^{ρ σ} \partial_{ρ} ϕ \partial_{σ} ϕ) + q (- h_{m v} Δ ϕ + \nabla_{m} \nabla_{v} ϕ) + 2 π m b {mi}^{2 b ϕ} h_{m v}

$\begin{equation}T_{\mu\nu}= -\left(\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}h_{\mu\nu}h^{\rho\sigma}\partial_{\rho}\phi\partial_{\sigma}\phi\right)+Q(-h_{\mu\nu}\Delta\phi+\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\phi)+2\pi\mu be^{2b\phi}h_{\mu\nu}\end{equation}$

$\textbf{Question 1:}$ ¿Por qué la contribución es proporcional a $R$ desaparece? Tengo la sensación de que este es el tensor de energía de estrés para el espacio plano pero no para el espacio curvo o ¿se desvanecen en todos los casos?

Luego, pasamos al plano complejo (sección 6.5.2). La métrica está dada por $ds^2 = dzd\bar{z}$ . Esto significa que

{gramo}_{z z} = {gramo}_{\bar{z} \bar{z}} = 0, {gramo}_{z \bar{z}} = {gramo}_{\bar{z} z} = \frac{1}{2}

$\begin{equation}g_{zz}=g_{\bar{z}\bar{z}}=0, g_{z\bar{z}}=g_{\bar{z}z}=\frac{1}{2}\end{equation}$ Además, se encuentra fácilmente que la derivada de coordenadas complejas es

\partial_{z} = \frac{1}{2} (\partial_{0} - i \partial_{1})

$\partial_{z}= \frac{1}{2}(\partial_0-i\partial_1)$ .

$\textbf{Question 2:}$ No entiendo completamente cómo transformar el eom así como el tensor de tensión-energía en esas nuevas coordenadas. El resultado debería ser:

\partial \bar{\partial} ϕ = 4 π m b {mi}^{mi b ϕ}

$\begin{equation}\partial\bar{\partial}\phi = 4\pi \mu be^{eb\phi}\end{equation}$

T (z) = T_{z z} = - (\partial ϕ)^{2} + q \partial^{2} ϕ + 2 π m {mi}^{mi b ϕ}

$\begin{equation}T(z) = T_{zz} = -(\partial\phi)^2+Q\partial^2\phi+2\pi\mu e^{eb\phi}\end{equation}$

¿Puede alguien darme una pista, por favor?

Respuestas (1)

Tensor de tensión-energía 2D de Liouville

harold · Answer 1

Primero, debo decir que soy el autor de las notas; la numeración se refiere a la versión en línea de las notas .

Pregunta 1

La fórmula (6.27) para el tensor energía-cantidad de movimiento se deriva de la variación general de la acción (6.22a). Los términos entre paréntesis coinciden $T_{\mu\nu}$ hasta el término

q ϕ {GRAMO}_{m v} = q ϕ (R_{m v} - \frac{R}{2} h_{m v}),

$Q \phi \, G_{\mu\nu} = Q \phi \left( R_{\mu\nu} - \frac{R}{2} \, h_{\mu\nu} \right),$ pero este término es idénticamente cero en dos dimensiones. La razón es que el tensor de Riemann tiene solo un componente que no desaparece y, por lo tanto, el tensor de Ricci debe ser proporcional a

R

$R$ . En las notas, esto se explica brevemente (y mal) en (4.11) y más abajo.

Pregunta 2

Para transformar a coordenadas complejas tienes dos posibilidades:

Etiquete los componentes de cada tensor con coordenadas complejas y expanda los componentes usando la forma explícita de la métrica.
Utilice las fórmulas explícitas (transformación tensorial o regla de encadenamiento) para relacionar los componentes cartesianos y complejos.

Encuentro 1) más simple en general. Por ejemplo el laplaciano:

Δ = h^{m v} \partial_{m} \partial_{v} = \underset{= 0}{\underset{⏟}{h^{z z} \partial_{z} \partial_{z}}} + \underset{= 0}{\underset{⏟}{h^{\bar{z} \bar{z}} \partial_{\bar{z}} \partial_{\bar{z}}}} + 2 h^{z \bar{z}} \partial_{z} \partial_{\bar{z}} = 4 \partial \bar{\partial}

$\Delta = h^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu = \underbrace{h^{zz} \partial_z \partial_z}_{= 0} + \underbrace{h^{\bar z \bar z} \partial_{\bar z} \partial_{\bar z}}_{= 0} + 2 h^{z \bar z} \partial_z \partial_{\bar z} = 4 \, \partial \bar\partial$ Por lo tanto, la ecuación de movimiento se convierte en

\partial \bar{\partial} ϕ = π m {mi}^{2 b ϕ}

$\partial \bar\partial \phi = \pi\mu \, \mathrm{e}^{2 b \phi}$ (Hay errores tipográficos para los factores en mis notas, no tuve cuidado con las convenciones utilizadas para las coordenadas complejas). Para el tensor energía-momento:

T_{z z} = - (\partial_{z} ϕ \partial_{z} ϕ - \underset{= 0}{\underset{⏟}{h_{z z} (\partial_{m} ϕ}})^{2}) + q (\underset{= 0}{\underset{⏟}{h_{z z} Δ ϕ}} + \partial_{z} \partial_{z} ϕ) + \underset{= 0}{\underset{⏟}{2 π b m h_{z z} {mi}^{2 b ϕ}}},

$T_{zz} = - \bigg( \partial_z \phi \partial_z \phi - \underbrace{h_{z z} (\partial_\mu \phi}_{= 0} )^2 \bigg) + Q \big( \underbrace{h_{zz} \Delta \phi}_{= 0} + \partial_z \partial_z \phi \big) + \underbrace{2 \pi b \mu \, h_{z z} \, \mathrm{e}^{2 b \phi}}_{= 0},$ y esto se simplifica a

T = - (\partial ϕ)^{2} + q \partial^{2} ϕ .

$T = - (\partial \phi)^2 + Q \, \partial^2 \phi.$ Esta es la forma más común del tensor energía-momento. El término mu en mis notas es un error: no he tenido cuidado con h_{zz} y los índices derivados. Por otro lado, lo que es cierto es que la traza es igual a (después de simplificar el término que se desvanece)

h^{m v} T_{m v} = 2 h^{z \bar{z}} T_{z \bar{z}} = T_{z \bar{z}} = q (- h_{z \bar{z}} 4 \partial \bar{\partial} ϕ + \partial \bar{\partial} ϕ) + 2 π b m h_{z \bar{z}} {mi}^{2 b ϕ} = - q \partial \bar{\partial} ϕ + π b m {mi}^{2 b ϕ} .

$h^{\mu\nu} T_{\mu\nu} = 2 h^{z \bar z} T_{z \bar z} = T_{z \bar z} = Q (- h_{z \bar z} 4 \partial \bar\partial \phi + \partial \bar\partial \phi) + 2 \pi b \mu \, h_{z \bar z} \, \mathrm{e}^{2 b \phi} = - Q \, \partial \bar\partial \phi + \pi b \mu \, \mathrm{e}^{2 b \phi}.$ En el nivel clásico tenemos

Q = 1 / b

$Q = 1/b$ lo que implica que la energía-momento no tiene rastro en la capa . Esta es también la razón por la que el término mu no puede aparecer en

T

$T$ , ya que es el único término que rompe la conformidad y, por lo tanto, debe aparecer solo en la traza (excepto si puede ser eliminado por el eom).

¡Gracias por tu respuesta! creo que echas de menos un $\phi$ en el lado izquierdo del eom tengo otra pregunta pendiente. Cuando calcula el tensor de energía de estrés en coordenadas complejas, el último término con el exponencial se multiplica por un $h_{\mu \nu}$ en la forma inicial (6.27). ¿Cómo sobrevivió a la compleja transformación de coordenadas como $h_{zz}$ es 0 y hace que los otros dos términos desaparezcan?
Esto fue un error tipográfico, no hay ningún término mu en $T$ ; Arreglé la explicación anterior.
Muchas gracias por todos los detalles y la explicación! ¡Ayudó mucho!

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