Tensor de Ricci como hamiltoniano relativista

Question

Tensor de Ricci como hamiltoniano relativista

Física
curvatura
relatividad general
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano
tensión-energía-momentum-tensor

marek

Estoy un poco decepcionado con la acción integral en la relatividad general. La integral de acción es:

\begin{matrix} (1) & \int R d^{4} X = \int R_{i j} {gramo}^{i j} d^{4} X \end{matrix}

$\int Rd^{4}x=\int R_{ij}g^{ij}d^{4}x\tag{1}$ Dónde

\begin{matrix} (2) & R_{i j} = \frac{\partial Γ_{i j}^{yo}}{\partial X^{yo}} - \frac{\partial Γ_{yo i}^{yo}}{\partial X^{j}} + Γ_{i j}^{yo} Γ_{yo metro}^{metro} - Γ_{i metro}^{yo} Γ_{yo j}^{metro} \end{matrix}

$R_{ij}=\frac{\partial\Gamma^{l}_{ij}}{\partial x^{l}}-\frac{\partial\Gamma^{l}_{li}}{\partial x^{j}}+\Gamma^{l}_{ij}\Gamma^{m}_{lm}-\Gamma^{l}_{im}\Gamma^{m}_{lj}\tag{2}$ es el tensor de Ricci. El tensor de Ricci está conectado en la relatividad general con el hamiltoniano y la cantidad

\begin{matrix} (3) & R = R_{i j} {gramo}^{i j} \end{matrix}

$R=R_{ij}g^{ij}\tag{3}$ es la curvatura escalar, que es una cantidad invariante, y también la energía total del sistema. No puedo entender, ¿cómo puedo ver en la función hamiltoniana del tensor de Ricci?

En todos los libros de la relatividad general encontré algo como esto:

Principio de acción...

Vamos a tener una acción:

\int \sqrt{- gramo} R d^{4} X = \int \sqrt{- gramo} R_{i k} {gramo}^{i j} d^{4} X

$\int\sqrt{-g} R d^4 x=\int\sqrt{-g} R_{ik}g^{ij} d^4 x$ Donde R es la curvatura escalar...aaay, cuando hacemos algunas variaciones de gimnasia como:

d \sqrt{- gramo} = - \frac{1}{2} \sqrt{- gramo} {gramo}_{i k} d {gramo}^{i k}

$\delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{ik}\delta g^{ik}$

d R = R_{i k} d {gramo}^{i k}

$\delta R=R_{ik}\delta g^{ik}$ y esperar cuando se disipe el humo, con suerte llegamos a las ecuaciones de campo de Einstein al vacío:

R_{i k} - \frac{1}{2} R {gramo}_{i k} = 0

$R_{ik}-\frac{1}{2}Rg_{ik}=0$ y

R_{i k} - \frac{1}{2} R {gramo}_{i k} = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} T_{i k}

$R_{ik}-\frac{1}{2}Rg_{ik}=\frac{8\pi G}{c^{4}}T_{ik}$ en presencia de materia. Y ahora podemos ir más lejos... :)

Esto está escrito en todos los libros. Pero la pregunta es: Ok... llegamos a las ecuaciones de Einstein a través de la variación de R. Pero, ¿por qué hacemos variación de R y no alguna otra cantidad? Encontré esta identidad:

R_{i k} = k (T_{i k} - \frac{1}{2} T {gramo}_{i k})

$R_{ik}=\kappa(T_{ik}-\frac{1}{2}Tg_{ik})$ Pero no puedo demostrarlo todavía. Y es lo mismo, donde comencé

qmecanico

Comentario menor: ¿Qué pasó con

\sqrt{| g |}

$\sqrt{|g|}$ en la ec. (1)?

marek

No pasó nada. esto se perdió

marek

esta falta

\sqrt{- gramo}

$\sqrt{-g}$ no tiene impacto en esto. Olvidé escribirlo :)

Sebastián Riese

Es más bien una especie de lagrangiano que hamiltoniano (obtener una formulación hamiltoniana para GR es bastante difícil). Y la cantidad que das es la acción, no la energía total del sistema.

Estilo clásico

Véase el libro de Wald en los apéndices... "Relatividad General". Tiene todo lo que quieres saber y más.

horus

El escalar no es una representación de la energía total, aunque está algo conectado a través de la traza del tensor de momento de energía.

Profesor Legolasov

¿Quiso decir que está decepcionado con la forma en que está escrita la acción de Einstein-Hilbert, o que usted es la decepción? :) Realmente no está claro a partir de su pregunta

marek

Estoy decepcionado, porque no sé por qué la cantidad R es el hamiltoniano. No sé cómo conectarlo con la función hamiltoniana.

Alejandro

Como se mencionó, R es un Lagrangiano (eventualmente, se le aplica la ecuación EL). El uso de R se debe a 3 razones principales: (1) es escalar (por lo tanto, invariante de las transformaciones de coordenadas) (2) es el escalar más simple que se puede construir a partir del tensor de Riemann (su rastro), la geometría diferencial del jugador principal. (3) es lógico: minimizar la curvatura global para una distribución dada de energía/momento. Recuerde el análogo clásico de minimizar las superficies de jabón que tienen densidad de energía por área.

marek

No sé nada sobre superficies de jabón. Sería útil, si me envías algo, que me expliques lo que quieres decir.

GRrocks

Supongo que la razón por la que solo variamos

R

$R$ se debe a la simplicidad... si variamos algo como, digamos, el tensor de Ricci, entonces habría términos adicionales de Christoffel involucrados. En principio, se puede hacer, pero no es práctico.

Profesor Legolasov

@marek varios usuarios de este sitio (incluyéndome a mí) estarían encantados de responder a sus preguntas, pero primero tienen que saber a qué se refiere. Se mencionó muchas veces que

\sqrt{- g} \cdot R

$\sqrt{-g} \cdot R$ es la densidad de Lagrange para la Relatividad General. Sigues insistiendo en que es la densidad hamiltoniana. ¿Por qué pensarías eso?

marek

De acuerdo. Déjame explicarlo. Einstein en el libro de la relatividad general menciona, que es la densidad hamiltoniana.

Profesor Legolasov

@marek lamentablemente no tengo el libro de Einstein sobre mí. Pero estoy casi seguro de que quiso decir algo diferente a lo que sugieres. Por ejemplo, podría ser el hamiltoniano de la ecuación geodésica en algunas coordenadas. Por cierto, agrégame (como hago yo) al principio del comentario, de lo contrario no recibiría una notificación.

marek

Ya lo encontré en PAM Dirac General relativity. Allí se explica por qué es así. Lo escribiré aquí más tarde hoy.

Profesor Legolasov

@marek, por favor, también eche un vistazo a mi respuesta. No quiero que mi tiempo sea desperdiciado.

marek

@Comprensión retrospectiva. Ok, soy nuevo aquí, así que a veces incluso algunas cosas simples toman tiempo :)

Respuestas (1)

Tensor de Ricci como hamiltoniano relativista

Comentario menor: ¿Qué pasó con $\sqrt{|g|}$ en la ec. (1)?
esta falta $\sqrt{- gramo}$ $\sqrt{-g}$ no tiene impacto en esto. Olvidé escribirlo :)
Es más bien una especie de lagrangiano que hamiltoniano (obtener una formulación hamiltoniana para GR es bastante difícil). Y la cantidad que das es la acción, no la energía total del sistema.
Véase el libro de Wald en los apéndices... "Relatividad General". Tiene todo lo que quieres saber y más.
El escalar no es una representación de la energía total, aunque está algo conectado a través de la traza del tensor de momento de energía.
¿Quiso decir que está decepcionado con la forma en que está escrita la acción de Einstein-Hilbert, o que usted es la decepción? :) Realmente no está claro a partir de su pregunta
Estoy decepcionado, porque no sé por qué la cantidad R es el hamiltoniano. No sé cómo conectarlo con la función hamiltoniana.
Como se mencionó, R es un Lagrangiano (eventualmente, se le aplica la ecuación EL). El uso de R se debe a 3 razones principales: (1) es escalar (por lo tanto, invariante de las transformaciones de coordenadas) (2) es el escalar más simple que se puede construir a partir del tensor de Riemann (su rastro), la geometría diferencial del jugador principal. (3) es lógico: minimizar la curvatura global para una distribución dada de energía/momento. Recuerde el análogo clásico de minimizar las superficies de jabón que tienen densidad de energía por área.
No sé nada sobre superficies de jabón. Sería útil, si me envías algo, que me expliques lo que quieres decir.
Supongo que la razón por la que solo variamos $R$ se debe a la simplicidad... si variamos algo como, digamos, el tensor de Ricci, entonces habría términos adicionales de Christoffel involucrados. En principio, se puede hacer, pero no es práctico.
@marek varios usuarios de este sitio (incluyéndome a mí) estarían encantados de responder a sus preguntas, pero primero tienen que saber a qué se refiere. Se mencionó muchas veces que $\sqrt{-g} \cdot R$ es la densidad de Lagrange para la Relatividad General. Sigues insistiendo en que es la densidad hamiltoniana. ¿Por qué pensarías eso?
De acuerdo. Déjame explicarlo. Einstein en el libro de la relatividad general menciona, que es la densidad hamiltoniana.
@marek lamentablemente no tengo el libro de Einstein sobre mí. Pero estoy casi seguro de que quiso decir algo diferente a lo que sugieres. Por ejemplo, podría ser el hamiltoniano de la ecuación geodésica en algunas coordenadas. Por cierto, agrégame (como hago yo) al principio del comentario, de lo contrario no recibiría una notificación.
Ya lo encontré en PAM Dirac General relativity. Allí se explica por qué es así. Lo escribiré aquí más tarde hoy.
@marek, por favor, también eche un vistazo a mi respuesta. No quiero que mi tiempo sea desperdiciado.
@Comprensión retrospectiva. Ok, soy nuevo aquí, así que a veces incluso algunas cosas simples toman tiempo :)

Profesor Legolasov · Answer 1

Parece que te has perdido en el tema. Para aclarar algunos datos:

La acción de la Relatividad General (acción de Einstein-Hilbert) es, como siempre, una integral de la densidad lagrangiana sobre el espacio-tiempo:
$S [gramo] = \frac{1}{dieciséis π GRAMO} \int d^{4} X \sqrt{- gramo} \cdot R,$ $S[g] = \frac{1}{16 \pi G} \int d^4 x \sqrt{-g} \cdot R,$ dónde $\sqrt{-g}$ es la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico y $R$ es la curvatura escalar de Ricci de la métrica. ¿Por que es esto entonces? Porque es un postulado. No puede derivar esta acción de ningún tipo de principio fundamental (como el principio de equivalencia). También podrían existir diferentes acciones. Pero la acción de Einstein-Hilbert es la más simple de su tipo y, por lo tanto, da lugar a la teoría geométrica de la gravedad más simple: la relatividad general.
La raíz cuadrada del determinante del tensor métrico $\sqrt{-g}$ está ahí por una razón: da un elemento de volumen natural de la geometría de Riemann:
$d Volumen = d^{4} X \sqrt{- gramo}$ $d\:\text{Volume} = d^4 x \sqrt{-g}$ es el elemento de 4 volúmenes de espacio-tiempo invariante. La raíz cuadrada proporciona la invariancia de la acción de Einstein-Hilbert bajo difeomorfismos (Transformaciones de coordenadas generales, GCT) y, por lo tanto, la manifestación matemática del principio general de la relatividad.
Has encontrado esta identidad.
$R_{m v} = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} (T_{m v} - \frac{1}{2} T {gramo}_{m v})$ $R_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \left( T_{\mu \nu} - \frac{1}{2} T g_{\mu \nu} \right)$ y actualmente no están seguros de cómo surge en la teoría. En realidad, esta no es una identidad sino una ecuación dinámica de movimiento, que es completamente equivalente a las ecuaciones de Einstein. De hecho, uno podría derivar fácilmente uno del otro. Partimos de las ecuaciones de Einstein: $R_{m v} - \frac{1}{2} R {gramo}_{m v} = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} T_{m v}$ $R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$ Tomemos la traza de esta ecuación (contraémosla con la métrica contravariante): $R - \frac{1}{2} R norte = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} T_{m v} {gramo}^{m v}$ $R - \frac{1}{2} R n = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} g^{\mu \nu}$ $(1 - \frac{1}{2} norte) R = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} T$ $\left( 1 - \frac{1}{2} n \right) R = \frac{8 \pi G}{c^4} T$ dónde $n$ es la dimensionalidad del espacio-tiempo ( $n = 4$ ). Ahora sustituyo la expresión por $R$ en la ecuación original: $R_{m v} - \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} \cdot \frac{T {gramo}_{m v}}{(2 - norte)} = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} T_{m v}$ $R_{\mu \nu} - \frac{8 \pi G}{c^4} \cdot \frac{T g_{\mu \nu}}{(2-n)} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$ $R_{m v} = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} (T_{m v} - \frac{1}{norte - 2} T {gramo}_{m v})$ $R_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \left( T_{\mu \nu} - \frac{1}{n-2} T g_{\mu \nu} \right)$ Para $n = 4$ se reduce a $R_{m v} = \frac{8 π GRAMO}{C^{4}} (T_{m v} - \frac{1}{2} T {gramo}_{m v})$ $R_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \left( T_{\mu \nu} - \frac{1}{2} T g_{\mu \nu} \right)$ lo que significa que su ecuación es completamente equivalente a la ecuación de Einstein.
Hay una forma de construir el formalismo hamiltoniano de la relatividad general. Eche un vistazo al formalismo ADM . Sin embargo, supongo que no necesita eso, y cuando hablaba de Hamilton, se refería al principio de Hamilton, que es solo un nombre elegante para el principio de la acción mínima. El principio de la mínima acción se encuentra en el corazón del formalismo lagrangiano.

@ Retrospectiva. Me queda mucho más claro. No sabía nada sobre el formalismo ADM. Supuse que el tensor de energía-momento está incluido en ese mismo R y obtiene naturalmente su lugar en el lado derecho de las ecuaciones. Pero parece que se agrega allí al tensor de Ricci reequilibrado a la izquierda. Entonces puede decir que el tensor de Ricci es hamiltoniano, porque es igual al tensor de energía-momento.
@marek No entendí nada de lo que escribiste sobre la relación del tensor de Ricci con el hamiltoniano :) Pero me alegro de que te resulte más claro.
@marek sobre esa relación: la física teórica es una ciencia exacta y, por lo tanto, debemos tender a hacer declaraciones matemáticas precisas. En el contexto de la Relatividad General tenemos dos tipos diferentes de cosas: la materia (que se caracteriza por el tensor energía-momento) y la gravedad (que es por definición la curvatura del espacio-tiempo y se caracteriza por el tensor de Riemann y sus contracciones). Las ecuaciones de Einstein (y el lagrangiano de Einstein-Hilbert que se usa para obtenerlas) son las ecuaciones de movimiento de la gravedad.
@marek También existen ecuaciones de movimiento para la materia, y su forma depende del tipo de materia que esté considerando. El caso más fácil es una partícula puntual de sonda con masa despreciable. La ecuación de movimiento de dicha partícula es la conocida ecuación geodésica. También podría poner algunos campos (escalares / electromagnetismo / espinores) en el espacio-tiempo y obtener las ecuaciones de movimiento para ellos. Pero siempre dependerá de las propiedades geométricas del espacio-tiempo (como la conexión afín).
@marek y las ecuaciones de movimiento para la gravedad (ecuaciones de Einstein) también dependen de las propiedades relacionadas con el modelo específico de la materia. Pero en este caso todas estas propiedades se pueden resumir en el tensor tensión-energía, que da cuenta de la información completa sobre cómo interactúa tu materia con la gravedad. A esto se refieren los relativistas cuando dicen que la materia se mueve en el espacio-tiempo, y que la curvatura del espacio-tiempo viene dada por el contenido de la materia.
@marek en conclusión, creo que podría estar confundiendo los dos tipos de ecuaciones de movimiento, lo que podría llevarlo a creer que el tensor de tensión-energía tiene algo que ver con la geometría en primer lugar.

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