¿Debería la energía cinética ser conformemente invariante para una QFT en un espacio curvo?

Al acoplar un campo escalar a la gravedad, a veces se introduce un término adicional en la acción: S = ∫ d 4 X − gramo ( L − 1 2 H 0 R ϕ 0 2 ) dónde R es el escalar de Ricci, L es la materia lagrangiana, y H 0 es un parámetro sintonizado para hacer que la energía cinética sea conformemente invariante. Este término llamado "no mínimo" es cero en el espacio plano, pero su derivada con respecto a la métrica da una modificación al tensor canónico de momento de energía, definiendo el "Tensor de momento de energía mejorado".

En el artículo https://doi.org/10.1103/PhysRevD.14.1965 (disculpas por el muro de pago), Collins escribe que

"Se podría decir que la forma mínima de pasar de un espacio plano a un espacio curvo no es que el término de energía cinética sea 1 2 ( ∂ ϕ ) 2 , pero para que sea conformemente invariante".

Si una teoría exhibe invariancia conforme, genial. Pero no entiendo por qué debería imponerse tal cosa, especialmente para una teoría masiva. ¿Hay alguna razón intuitiva por la que el término cinético en un lagrangiano deba ser conformemente invariante?

La teoría mínimamente acoplada tiene un tensor de tensión mejorado y no mejorado. La teoría acoplada conforme también tiene un tensor de tensión mejorado y no mejorado. Los cuatro son diferentes. La mejora significa agregar términos que desaparecen en el caparazón para hacer que la simetría sea más manifiesta. No tiene nada que ver con cambiar la teoría.
¿Quizás "conformemente covariante" sería más apropiado?
Si es una teoría masiva, la R ϕ 2 término no hará que la teoría sea conforme.

Respuestas (1)

El escalar sin masa en el espacio plano es clásicamente conforme, por lo que es natural hacer lo que sea necesario para mantener esa simetría cuando se eleva a un fondo curvo.

El escalar masivo no es conforme y no puede ser conforme.

Editar

Lo anterior es en cierto sentido correcto, pero requiere aclaración. Una transformación conforme es un caso especial de una transformación general de coordenadas, por lo que cualquier teoría sobre un fondo curvo es invariante bajo transformaciones conformes. Cuando decimos que una teoría es conforme, el enunciado no trivial es que es conforme en el espacio plano. Para que una teoría sea conforme en el espacio plano, la teoría en el espacio curvo debe ser tanto invariante de difeomorfismo como invariante de Weyl.

Una transformación de Weyl no es una transformación de coordenadas, es un cambio de escala local de la métrica gramo m v ′ ( X ) = Ω 2 ( X ) gramo m v ( X ) (Tenga en cuenta que una transformación conforme es una transformación de coordenadas que da como resultado que la métrica se transforme de la misma manera). Ahora, para que la teoría del espacio curvo se corresponda con la del espacio plano, las simetrías en el espacio curvo deben corresponder a las del espacio plano. Entonces, el escalar sin masa que es clásicamente conforme en el espacio plano necesita tener invariancia de Weyl en el espacio curvo.

Sólo para que tengamos una teoría concreta, la acción es

S = 1 2 ∫ d d X gramo ( gramo m v ∂ m ϕ ∂ v ϕ + d − 2 4 ( d − 1 ) R ϕ 2 − V ( ϕ ) )

El punto es que si no incluyes el R ϕ 2 término, y tomemos el límite del espacio plano, la teoría en realidad no será conforme.

¿Pero la curvatura no introduciría una escala de longitud? Me imagino que esto debería estropear la invariancia conforme.
@Andrea Creo que tuve una idea equivocada cuando escribí esta respuesta. Una transformación conforme es un difeomorfismo, por lo que cualquier teoría sobre un fondo curvo es conforme. La simetría adicional sobre un fondo curvo que permite que la teoría plana sea conforme es la simetría de Weyl. Editaré mi respuesta en un momento.
¡Fresco! Yo mismo no sé mucho sobre transformaciones conformes, por eso estaba preguntando
Creo que hay dos usos diferentes de la expresión "transformación conforme": ya sea un cambio de escala de las coordenadas o un cambio de escala de las coordenadas y los campos
@Andrea, podrías decir lo mismo sobre las transformaciones de Lorentz. Por lo general, los campos se transforman de manera no trivial con respecto a las transformaciones de coordenadas.
Bastante justo ... entonces, la mejor manera de decirlo es que algunos escalares de Lorentz se transforman trivialmente bajo transformaciones conformes, ¿y otros no?
Entonces, debido a que los campos de tensores en GR deben transformarse covariantemente bajo transformaciones de coordenadas generales, ¿entonces también se transforman como tensores bajo transformaciones conformes? Entonces, si una teoría en el espacio plano es conforme, pero el análogo del espacio curvo no lo es, entonces se debe modificar la teoría porque la versión curva siempre debe ser conforme por covarianza general. ¿Es eso lo que se lleva?
@ user143854 No, eso no es lo que estoy diciendo. La teoría del espacio curvo debe aproximarse a la plana en el límite del espacio plano. Esto significa que debería acercarse a la teoría del espacio plano con invariancia conforme. La forma de hacer esto es tener una teoría del espacio curvo con simetría de Weyl .
@Andrea bueno, si la teoría no es conformemente invariante, en realidad no hay una noción útil de cómo ϕ transforma bajo una transformación conforme. Pero siempre se puede decir que se transforma de una manera particular.
Ok, creo que veo mi confusión. La simetría conforme del término cinético para un campo escalar libre en el espacio plano es una consecuencia de la teoría, no es algo impuesto como pensé inicialmente. Luego, al generalizar al espacio curvo, se debe preservar la invariancia de Weyl y el difeomorfismo, lo que motiva el término de mejora en la acción que se desvanece en el espacio plano. ¿Está esto más en el objetivo?
¿Debería la energía cinética ser conformemente invariante para una QFT en un espacio curvo?
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