Probar el tensor de energía-momento para una teoría de campo conforme no tiene rastro

Un truco para derivar corrientes de Noether que se usa con frecuencia en la literatura de teoría de campos conformes es el siguiente: supongamos que tenemos una acción$S[\phi]$que tiene la simetría infinitesimal$\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \phi(x) + \epsilon \Delta \phi(x)$, dónde$\epsilon$es un pequeño parámetro de la transformación, entonces si actualizamos$\epsilon \rightarrow \epsilon(x)$la acción cambia por

$$\delta S = \int \mathrm{d}^d x (\partial_\mu \epsilon) j^\mu + (\text{boundary terms}) \tag{1}$$

dónde$j^\mu$es la corriente conservada para la transformación de simetría rígida original cuando$\epsilon \neq \epsilon(x)$.

Traducciones

Para el ejemplo de las traducciones, tenemos

$$\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \phi(x-a) = \phi(x) - \epsilon^\mu \partial_\mu \phi(x) + O(\epsilon^2), \tag{2}$$

entonces$\Delta \phi(x) = - \partial_\mu \phi(x)$en este ejemplo. Por lo tanto, si tuviera que actualizar$\epsilon^\mu \rightarrow \epsilon^\mu(x)$para darnos ahora algún tipo de traducción dependiente del espacio, de$(1)$encontraríamos

$$\delta S = \int \mathrm{d}^d x (\partial_\mu \epsilon_\nu) T^{\mu \nu} + (\text{boundary terms}) \tag{3}$$

dónde$T^{\mu \nu}$es el tensor de energía-momento.

Transformaciones conformes

Es en este punto que muchos textos prueban que una teoría es conformemente simétrica si su tensor de energía-momento no tiene trazas, ver Eq. (4.34) de CFT de Di Francesco et al (que también utiliza el truco del teorema de Noether Ec. (2.191) y Ec. (2.142) descritas anteriormente). Primero asumimos$T^{\mu \nu}$es simétrico, entonces podemos escribir

$$\delta S = \int \mathrm{d}^d x (\partial_\mu \epsilon_\nu) T^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \int \mathrm{d}^d x (\partial_\mu \epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu) T^{\mu \nu}$$

Ahora usamos el hecho de que para una transformación conforme infinitesimal$\partial_{(\mu} \epsilon_{\nu)} \propto \partial_\alpha \epsilon^\alpha g_{\mu \nu}$y por lo tanto

$$\delta S \propto \int \mathrm{d}^d x \partial_\alpha \epsilon^\alpha T^\mu_{\ \mu} \tag{4}$$

Así que si$T^\mu_{\ \mu} = 0$entonces$\delta S = 0$hasta términos de frontera y tenemos simetría conforme. Estoy extremadamente incómodo con esta prueba, ya que parece implicar que simplemente actualizando$\epsilon \rightarrow \epsilon(x)$, dónde$\epsilon(x)$obedece a las condiciones de una transformación conforme de lo múltiple, tenemos la acción de una transformación conforme sobre nuestros campos, pero no tiene en cuenta cómo se transforman los grados de libertad internos del campo. Más precisamente, estamos usando el resultado$(1)$, luego actualizando$(2)$a una traducción dependiente del espacio con$\epsilon \rightarrow \epsilon(x)$para derivar el resultado$(3)$. Por lo tanto, refiriéndose a$(2)$, reemplazando$\epsilon \rightarrow \epsilon(x)$significa que hemos cambiado nuestra variación de los campos como

$$\delta \phi(x) =- \epsilon^\mu \partial_\mu \phi(x) \quad \rightarrow \quad \delta \phi(x)= - \epsilon^\mu(x) \partial_\mu \phi(x)$$

Claramente, esto no es una transformación conforme de los campos porque supone que se transforman como un campo escalar bajo el grupo conforme. Por ejemplo, las transformaciones de Lorentz son conformes y se transforman a través de

$$\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = R(\Lambda) \phi(\Lambda^{-1} x)$$

dónde$\Lambda$es nuestra transformación de Lorentz y$R$es una representación de espín, por lo que también obtenemos una transformación interna. De manera similar, las transformaciones de escala van como

$$\phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \lambda^{-\Delta} \phi\left( \frac{x}{\lambda} \right)$$

dónde$\Delta$es la dimensión de escala de los campos. Por lo tanto, simplemente definir la transformación en las coordenadas no es suficiente, también necesitamos saber cómo se transforman los grados de libertad internos, por lo que me siento incómodo interpretando la traducción dependiente del espacio obtenida de$\epsilon \rightarrow \epsilon(x)$como una transformación conforme.

Mi pregunta

Simplemente actualizando nuestro parámetro de traducción rígido$\epsilon^\mu$a una función$\epsilon^\mu(x)$por sí solo no es suficiente para convertir la traducción en una transformación conforme, ya que necesitamos la información adicional de la acción grupal en los campos, entonces, ¿cómo se justifica esta prueba anterior (del libro CFT de Di Francesco et al)?

Soy plenamente consciente de la definición del tensor de energía-momentum de la variación de la métrica, por ejemplo, de this , pero me gustaría una justificación para el método tomado en este libro, donde de hecho usan el truco del teorema de Noether y no lo definen a través de el tensor de Hilbert.