"Acción de hoja mundial fija de calibre"

Mi pregunta se refiere a la acción en la ecuación 4.130 de Becker, Becker y Schwartz. Se lee como,

(4.130) S metro a t t mi r = 1 2 π ∫ ( 2 ∂ X m ∂ ¯ X m + 1 2 ψ m ∂ ¯ ψ m + 1 2 ψ ~ m ∂ ψ ~ m ) d 2 z .

  • No me queda claro por qué esto debería ser lo mismo que la acción Gervais-Sakita (GS) como parece ser. En primer lugar, ¿cuál es la definición de ψ ~ ? (... en ninguna parte anterior de ese libro veo que se haya definido...) Su comentario justo debajo de la acción es que esto está relacionado con el ψ + y ψ − definido anteriormente, pero luego no se reduce a la acción GS.

  • ¿Cuál es la definición del "tensor de impulso de energía bosónica" ( T B ( z ) ) y el "tensor de impulso de energía fermiónica" ( T F ( z ) )? Tampoco veo eso definido anteriormente en ese libro.

No puedo derivar de la acción anterior las siguientes expresiones reclamadas para los tensores como en la ecuación 4.131 y 4.133,

(4.131) T B ( z ) = − 2 ∂ X m ( z ) ∂ X m ( z ) − 1 2 ψ m ( z ) ∂ ψ m ( z ) = ∑ norte = − ∞ ∞ L norte z norte + 2

y

(4.133) T F ( z ) = 2 i ψ m ( z ) ∂ X m ( z ) = ∑ r = − ∞ ∞ GRAMO r z r + 3 2 .

  • Sería útil si alguien puede motivar la definición particular de L norte y GRAMO r como arriba y especialmente en cuanto a por qué esto T B ( z ) y T F ( z ) se dice que son holomorfos cuando aparentemente en la expresión de suma parece que arbitrariamente grandes potencias negativas de z ocurrirá, aunque supongo que la unitaridad limitaría eso.

  • ¿Por qué esta acción se llama "calibrador fijo"? ¿En qué sentido es así?

Respuestas (1)

  • Considere rotar la acción de Wick de la firma euclidiana a la lorentziana: reemplaza ∂ → ∂ + , ∂ ¯ → ∂ − y los campos son reemplazados por ψ → ψ + y ψ ~ → ψ − .
  • La acción que escribiste tiene un norte = 1 simetría superconformal (que, creo, fue uno de los primeros ejemplos SUSY) con generadores T B ( z ) y T F ( z ) (aveces llamado T ( z ) y GRAMO ( z ) respectivamente). Aquí T B es el habitual tensor energía-momento (generador de simetrías conformes), mientras que T F es la supercorriente (generador de supersimetría). Ver ejercicios 4.6 y 4.7 para su derivación ( T F se llama j allá).
  • La conservación del tensor de energía-momento da ∂ ¯ T = 0 en la hoja del mundo (el plano complejo perforado z ≠ 0 ), es decir T es holomorfo. Recordar que z = Exp ⁡ ( 2 ( τ + i σ ) ) , entonces z = 0 corresponde a τ → − ∞ . De manera similar, la conservación de la supercorriente implica que T F es holomorfo.
  • Para corregir (parcialmente) la invariancia del difeomorfismo de la hoja mundial, generalmente se considera el indicador conforme: gramo a b = h a b mi ϕ , dónde gramo a b es la métrica de la hoja mundial, h a b la métrica plana y ϕ el dilatón, que se desacopla. En la acción que escribió, la métrica de la hoja mundial es plana, que es la corrección del indicador en este caso.
Me estoy confundiendo bastante en cuanto a cómo siguen cambiando entre la notación "+-" y la notación "\alpha \beta". He visto esos ejercicios 4.6 y 4.7 allí en 4.6, parecen estar postulando una definición "nueva" de lo que es T + + Y lo que es T − − y no está claro cómo o por qué están relacionados con T B ( z ) . ¿Y qué pasó con nuestra definición familiar del tensor de tensión como T m v = ( ∂ m ϕ ) ∂ L ∂ ( ∂ v ϕ ) − η m v L ?
¡Lo que escribí arriba parece haberse estropeado por completo! ¿Puedes ser un poco más explícito? En el ejercicio 4.6, por ejemplo, afirman d + ( ψ − ∂ + ψ − + ψ + ∂ − ψ + ) = ∂ + ( ψ + ∂ − ψ + ) − ∂ − ( ψ + ∂ + ψ + ) ¡Esto no me queda claro!
¡Todo lo que escribo parece estar desordenado! ¿Puede usted amablemente completar algunos detalles más sobre esos ejercicios? Los he visto pero me perdí a mitad de camino.
@user6818, +- se refiere a las coordenadas del cono de luz: X + = X 0 + X 1 , X − = X 0 − X 1 , que se convierten z y z ¯ en firma euclidiana. La definición de T es simple: es la corriente de Noether asociada a la z → z + ϵ ( z ) simetría. Lo que ves en el libro es solo un truco para calcularlo. La fórmula para la que escribes T m v es correcto, pero debes tener cuidado con dos cosas: ψ anticonmutación y η + − = η − + = 1 / 2 (las entradas diagonales son cero).
buena respuesta, +1. Usuario: tu primer comentario fue invalidado porque escribiste comillas en lugar de un dólar delante del primero T + + en eso. Entonces, todas las matemáticas y no matemáticas se revirtieron exactamente después. Todavía tuviste tiempo para editarlo y arreglarlo, ¡unos minutos!
Me tomé la libertad de arreglar el Tex, tiene que haber una mejor manera...
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