Ecuación de movimiento para modelo sigma quiral no lineal

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Ecuación de movimiento para modelo sigma quiral no lineal

Física
teoría de campo
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
teoría del campo conforme
deberes-y-ejercicios

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Estoy luchando por derivar las ecuaciones de movimiento para el modelo sigma no lineal que se convierte en el modelo WZW más adelante, en el libro CFT de Francesco et. Alabama. El fragmento relevante está debajo. La acción está dada por
$S = \frac{1}{4 a^{2}} \int d^{2} X Tr (\partial_{m} {gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo)$ $S = \frac{1}{4a^2}\int d^2 x \text{ Tr}(\partial_\mu g^{-1}\partial^\mu g)$ donde aparentemente conseguimos variando $g \rightarrow g+ \delta g$ $d S = \frac{1}{2 a^{2}} \int d^{2} X Tr ({gramo}^{- 1} d gramo \partial^{m} ({gramo}^{- 1} \partial_{m} gramo)) .$ $\delta S = \frac{1}{2a^2} \int d^2x \text{ Tr}(g^{-1} \delta g \partial^\mu(g^{-1}\partial_\mu g)).$ Parece que no puedo llegar a este resultado.

Traté de calcularlo de la siguiente manera

\begin{aligned} d Tr (\partial_{m} {gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo) & = Tr (\partial_{m} d {gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo + \partial_{m} {gramo}^{- 1} \partial^{m} d gramo) \\ = Tr (- \partial_{m} ({gramo}^{- 1} d gramo {gramo}^{- 1}) \partial^{m} gramo + \partial_{m} {gramo}^{- 1} \partial^{m} d gramo) \\ = Tr (- (\partial_{m} {gramo}^{- 1}) d gramo {gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo - {gramo}^{- 1} d gramo (\partial_{m} {gramo}^{- 1}) \partial^{m} gramo) + 2 \partial_{m} {gramo}^{- 1} \partial^{m} d gramo) \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align} \delta \text{ Tr}(\partial_\mu g^{-1}\partial^\mu g) & = \text{Tr}(\partial_\mu \delta g^{-1}\partial^\mu g + \partial_\mu g^{-1}\partial^\mu \delta g) \\ & = \text{Tr}(-\partial_\mu(g^{-1}\delta g g^{-1})\partial^\mu g + \partial_\mu g^{-1} \partial^\mu \delta g) \\ & = \text{Tr}(-(\partial_\mu g^{-1})\delta g g^{-1}\partial^\mu g -g^{-1} \delta g (\partial_\mu g^{-1}) \partial^\mu g) + 2 \partial_\mu g^{-1}\partial^\mu \delta g) \\ & = \dots \end{align}$ usando

\partial^{μ} g^{- 1} = - g^{- 1} \partial^{μ} g g^{- 1}

$\partial^\mu g^{-1} = - g^{-1}\partial^\mu g g^{-1}$ y la ciclicidad en la línea tres. Aunque traté de integrarlo parcialmente de diferentes maneras, no puedo llegar al mismo resultado.

Supongo que debe haber una mejor manera de derivar esto. En particular, no entiendo el comentario en el libro (abajo) en el que derivan alguna fórmula para $A$ , $B$ independiente de $g$ , como es exactamente $g$ que aparece en la variación anterior. Tal vez alguien podría indicarme la dirección correcta, con gusto completaría la solución aquí.

Respuestas (1)

Ecuación de movimiento para modelo sigma quiral no lineal

Cosmas Zachos · Answer 1

Podrías hacer algo peor que estudiar los documentos de Gürsey 1960-1 donde descubre estos modelos quirales (en 4D). Sin el término topológico revelador, lo que escribe aún no es el modelo WZW : es el modelo quiral simple.

En cualquier caso, comenzó bien, pero no prosiguió su cálculo hasta su conclusión. Integrando por partes dentro de la integral, ciclando dentro de la traza, y usando la identidad para la variación y derivada de la inversa (y su atroz consecuencia $\partial g^{-1} \partial g=g^{-1}\partial g \partial g^{-1} g$ en el paso final), se obtiene

\int d Tr (\partial_{m} {gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo) = Tr [\partial_{m} d {gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo + \partial_{m} {gramo}^{- 1} \partial^{m} d gramo] = \int Tr [- \partial_{m} ({gramo}^{- 1} d gramo {gramo}^{- 1}) \partial^{m} gramo - (\partial^{m} \partial_{m} {gramo}^{- 1}) d gramo] = \int Tr [- \partial_{m} ({gramo}^{- 1} d gramo) {gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo - {gramo}^{- 1} d gramo \partial_{m} {gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo + \partial_{m} ({gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo {gramo}^{-}) d gramo] = \int Tr [{gramo}^{- 1} d gramo \partial_{m} ({gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo) - {gramo}^{- 1} d gramo \partial_{m} {gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo + \partial_{m} ({gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo) {gramo}^{-} d gramo + ({gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo) \partial_{m} {gramo}^{-} gramo {gramo}^{- 1} d gramo] = 2 \int Tr [{gramo}^{- 1} d gramo \partial_{m} ({gramo}^{- 1} \partial^{m} gramo)] .

$\int \delta \text{ Tr}(\partial_\mu g^{-1}\partial^\mu g) = \text{Tr}[\partial_\mu \delta g^{-1}\partial^\mu g + \partial_\mu g^{-1}\partial^\mu \delta g ~] \\ = \int \text{Tr}[-\partial_\mu(g^{-1}\delta g g^{-1})\partial^\mu g -(\partial^\mu \partial_\mu g^{-1}) ~ \delta g] \\ = \int\text{Tr}[-\partial_\mu (g^{-1}\delta g)~ g^{-1}\partial^\mu g -g^{-1} \delta g ~ \partial_\mu g^{-1} \partial^\mu g + \partial_\mu (g^{-1}\partial^\mu g~ g^{-})~ \delta g] \\ = \int\text{Tr}[ g^{-1}\delta g~ \partial_\mu (g^{-1}\partial^\mu g) -g^{-1} \delta g ~ \partial_\mu g^{-1} \partial^\mu g + \partial_\mu (g^{-1}\partial^\mu g)~ g^{-} \delta g+ (g^{-1}\partial^\mu g) \partial_\mu g^{-} ~ g g^{-1}\delta g ] \\ = 2 \int \text{Tr}[g^{-1}\delta g ~~\partial_\mu(g^{-1}\partial^\mu g )] ~.$ En el paso final, el segundo término cancela el cuarto.

Estas son maniobras estándar para modelos quirales, y en un rango muy limitado: no hay tantas. No son ajenos a (15.9), por supuesto, pero si lo sigue y no lo ayuda, simplemente siga la cascada formal anterior, aquí.

Y, sí, hay una mejor manera: los profesionales normalmente utilizan corrientes, $j^\mu=g^{-1} \partial^\mu g$ , para que la acción tome la forma transparente de Sugawara,

4 a^{2} S = - \int Tr [j^{m} j_{m}] ⟹ 4 a^{2} d S = - 2 \int Tr [j^{m} d j_{m}] .

$4a^2~S=-\int \text{Tr}[j^\mu j_\mu] \qquad \Longrightarrow 4a^2~\delta S=-2\int \text{Tr}[j^\mu \delta j_\mu] .$

Ahora, desde $\delta j_\mu= g^{-1}\partial_\mu \delta g -g^{-1}\delta g ~j_\mu$ , uno simplemente tiene

4 a^{2} d S = 2 \int Tr [{gramo}^{- 1} d gramo j_{m} j^{m} + \partial_{m} (j^{m} {gramo}^{- 1}) d gramo] = 2 \int Tr [{gramo}^{- 1} d gramo j_{m} j^{m} - j_{m} j^{m} {gramo}^{- 1} d gramo + \partial_{m} (j^{m}) {gramo}^{- 1} d gramo] = 2 \int Tr [{gramo}^{- 1} d gramo \partial_{m} (j^{m})] .

$4a^2~\delta S= 2\int \text{Tr}[ g^{-1}\delta g ~j_\mu j^\mu +\partial_\mu(j^\mu g^{-1})\delta g ]\\ = 2\int \text{Tr}[ g^{-1}\delta g ~j_\mu j^\mu -j_\mu j^\mu ~g^{-1}\delta g +\partial_\mu(j^\mu ) ~ g^{-1}\delta g ]= 2\int \text{Tr}[g^{-1}\delta g ~\partial_\mu(j^\mu )].$

Este lenguaje bien podría salvar la cordura de uno con la introducción de, por ejemplo, un término WZW incrustado en 7D.

Gracias por la pista sobre la consecuencia atroz. $\partial g \partial g^{-1}=...$

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Cosmas Zachos

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