¿Es la teoría ϕ4ϕ4\phi^4 en 4d conformemente invariante en el nivel clásico?

Question

¿Es la teoría ϕ4ϕ4\phi^4 en 4d conformemente invariante en el nivel clásico?

Física
invariancia de escala
formalismo lagrangiano
teoría clásica del campo
teoría del campo conforme
tensión-energía-momentum-tensor

Reporte del clima

Solía creer que las siguientes tres afirmaciones eran ciertas (solo en el nivel clásico) :

De la invariancia de escala se sigue la invariancia conforme completa.
La invariancia de escala está presente si no hay parámetros dimensionales en el Lagrangiano.
El tensor de energía-momento para la teoría de escala o conforme invariante no tiene rastro.

Sin embargo, al observar el ejemplo particular de la $\phi^4$ teoría en 4d empiezo a dudar. El lagrangiano es, por supuesto,

L = \frac{1}{2} (\partial ϕ)^{2} - gramo ϕ^{4}, S = \int d^{4} X L

$\mathcal{L}=\frac12(\partial \phi)^2-g \phi^4,\quad S=\int d^4x \mathcal{L}$

En campo 4d $\phi$ es de dimensión de masa 1 y $g$ es adimensional. La teoría es invariante de escala (si bajo $x'=\lambda x$ el campo se transforma como $\phi'(x')=\lambda^{-1}\phi(x)$ ), de acuerdo con la declaración (2).

Sin embargo, me parece que la teoría no es invariante bajo inversiones (no los molestaré con mis intentos fallidos aquí) y su tensor de energía-momento

T_{m v} = \partial_{m} ϕ \partial_{v} ϕ - d_{m v} (\frac{1}{2} (\partial ϕ)^{2} - gramo ϕ^{4})

$T_{\mu\nu}=\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi-\delta_{\mu\nu}\left(\frac12(\partial\phi)^2-g\phi^4\right)$ no es sin rastro

T_{m}^{m} = (1 - d / 2) (\partial ϕ)^{2} + d gramo ϕ^{4} .

$T^\mu_\mu=(1-d/2)(\partial\phi)^2+dg\phi^4.$

Mi pregunta es cuáles de las afirmaciones (1,2,3) son de hecho verdaderas y cómo funciona todo esto en el ejemplo de la $\phi^4$ ¿teoría?

Subrayo una vez más que aquí estoy interesado sólo en los aspectos clásicos.

Valter Moretti

Debe usar el tensor de energía de estrés obtenido al tomar la derivada variatiana de la acción con una métrica genérica no plana

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ y tal que la acción también incluye el término de corrección

ϕ^{2} R / 6

$\phi^2 R/6$ (desaparece en el espacio-tiempo plano) lo que lo hace conformemente invariante en sentido general. cuando pones

g_{a b} = η_{a b}

$g_{ab}=\eta_{ab}$ (espacio-tiempo plano) en la fórmula final para

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ , se ve que queda un término sin embargo (incluso si

R = 0

$R=0$ ) produciendo un rastro de fuga. Este tensor de energía de estrés mejorado es diferente del canónico.

Reporte del clima

Pensé que lo que hay que hacer es 'covariantizar' la acción. Por lo tanto, dado que el término

ϕ^{2} R / 6

$\phi^2R/6$ es covariante por sí mismo, no veo por qué debe incluirse? ¿Y por qué con ese coeficiente específico, etc.? ¿Y qué pasa con la invariancia de inversión, está ahí? ¿Cómo se transforma el campo debajo de él? O, tal vez, ¿podría simplemente dar una referencia sobre este tema? :) ¡Gracias!

Valter Moretti

El término

ϕ^{2} R / 6

$\phi^2R/6$ es el necesario para

d = 4

$d=4$ , de lo contrario hay un coeficiente complicado dependiendo de

n

$n$ . En realidad, no estoy seguro de que mi idea funcione en el caso interactivo.

g \neq 0

$g\neq 0$ . Podría intentar echar un vistazo al (muy antiguo) libro de texto de Birrell y Davies sobre QFT en el espacio-tiempo curvo...

Valter Moretti

... También el final de la página 448 del libro de texto de Wald sobre GR donde

T_{μ}^{μ} = 0

$T^{\mu}_\mu=0$ se analiza para un tensor conservado simétrico en relación con la invariancia conforme.

Respuestas (2)

¿Es la teoría ϕ4ϕ4\phi^4 en 4d conformemente invariante en el nivel clásico?

Debe usar el tensor de energía de estrés obtenido al tomar la derivada variatiana de la acción con una métrica genérica no plana $g_{\mu\nu}$ y tal que la acción también incluye el término de corrección $\phi^2 R/6$ (desaparece en el espacio-tiempo plano) lo que lo hace conformemente invariante en sentido general. cuando pones $g_{ab}=\eta_{ab}$ (espacio-tiempo plano) en la fórmula final para $T_{\mu\nu}$ , se ve que queda un término sin embargo (incluso si $R=0$ ) produciendo un rastro de fuga. Este tensor de energía de estrés mejorado es diferente del canónico.
Pensé que lo que hay que hacer es 'covariantizar' la acción. Por lo tanto, dado que el término $\phi^2R/6$ es covariante por sí mismo, no veo por qué debe incluirse? ¿Y por qué con ese coeficiente específico, etc.? ¿Y qué pasa con la invariancia de inversión, está ahí? ¿Cómo se transforma el campo debajo de él? O, tal vez, ¿podría simplemente dar una referencia sobre este tema? :) ¡Gracias!
El término $\phi^2R/6$ es el necesario para $d=4$ , de lo contrario hay un coeficiente complicado dependiendo de $n$ . En realidad, no estoy seguro de que mi idea funcione en el caso interactivo. $g\neq 0$ . Podría intentar echar un vistazo al (muy antiguo) libro de texto de Birrell y Davies sobre QFT en el espacio-tiempo curvo...
... También el final de la página 448 del libro de texto de Wald sobre GR donde $T^{\mu}_\mu=0$ se analiza para un tensor conservado simétrico en relación con la invariancia conforme.

M.Jo · Answer 1

(1) no es cierto. Los contraejemplos típicos son la teoría de Maxwell en dimensión $d \neq 4$ o la teoría de la elasticidad en 2 dimensiones . Véase también la otra respuesta.

(3) tampoco es completamente cierto. La afirmación correcta es que una teoría es invariante bajo transformaciones de escala si

T_{m}^{m} = \partial_{m} k^{m}

$T^\mu_\mu = \partial_\mu K^\mu$ para algún operador

K^{μ}

$K^\mu$ (la corriente virial mencionada en la otra respuesta), y es invariante bajo transformaciones conformes especiales si

T_{m}^{m} = \partial_{m} \partial_{v} L^{m v}

$T^\mu_\mu = \partial_\mu \partial_\nu L^{\mu\nu}$ para algunos

L^{μ ν}

$L^{\mu\nu}$ . Esto está muy bien explicado en un artículo de Polchinski . De manera equivalente, si

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ satisface la condición anterior, se puede "mejorar" agregando un término que no afecte su propiedad de conservación pero anule la traza.

Explícitamente, en su ejemplo, el tensor canónico de energía-momento es

T_{C}^{m v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \partial^{v} ϕ - η^{m v} L = \partial^{m} ϕ \partial^{v} ϕ - \frac{1}{2} η^{m v} \partial_{ρ} ϕ \partial^{ρ} ϕ + gramo η^{m v} ϕ^{4}

$T_c^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \mathcal{L} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \partial_\rho \phi \partial^\rho \phi + g \eta^{\mu\nu} \phi^4$ y el tensor de energía-momento mejorado

\begin{aligned} T^{m v} & = T_{C}^{m v} - \frac{d - 2}{4 (d - 1)} (\partial^{m} \partial^{v} - η^{m v} ◻) ϕ^{2} \\ = \frac{1}{2 (d - 1)} [d \partial^{m} ϕ \partial^{v} ϕ - η^{m v} \partial_{ρ} ϕ \partial^{ρ} ϕ - (d - 2) ϕ \partial^{m} \partial^{v} ϕ + (d - 2) η^{m v} ϕ ◻ ϕ] + gramo η^{m v} ϕ^{4} \end{aligned}

$\begin{align} T^{\mu\nu} &= T_c^{\mu\nu} - \frac{d-2}{4(d-1)} (\partial^\mu \partial^\nu - \eta^{\mu\nu} \square) \phi^2 \\ &= \frac{1}{2(d-1)} \left[ d \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \partial_\rho \phi \partial^\rho \phi - (d-2) \phi \partial^\mu \partial^\nu \phi + (d-2) \eta^{\mu\nu} \phi \square \phi \right] + g \eta^{\mu\nu} \phi^4 \end{align}$ Ambos tensores satisfacen la propiedad de conservación

\partial_{ν} T^{μ ν} = \partial_{ν} T_{c}^{μ ν} = 0

$\partial_\nu T^{\mu\nu} = \partial_\nu T^{\mu\nu}_c = 0$ al imponer la ecuación de movimiento

◻ ϕ + 4 gramo ϕ^{3} = 0

$\square \phi + 4 g \phi^3 = 0$ Pero ahora puedes comprobar que la traza del tensor de energía-momento mejorado

T_{m}^{m} = \frac{d - 2}{2} ϕ ◻ ϕ + d gramo ϕ^{4}

$T^\mu_\mu = \frac{d-2}{2} \phi \square \phi + d g \phi^4$ también se desvanece por la ecuación de movimiento en

d = 4

$d = 4$ .

(nota: este es un duplicado ligeramente editado de mi respuesta a otra pregunta )

Prastt · Answer 2

(2) y (3) son verdaderas. (1) no se conoce en general (para teorías unitarias).

Es cierto en 2d (recuerdo haber visto un artículo sobre un resultado similar para 3d pero no puedo encontrarlo) que la invariancia de escala y la unitaridad implican invariancia conforme. En dimensiones generales, esto solo es cierto cuando el Virial

V^{m} = \frac{d L}{d (\partial^{ρ} ϕ)} (η^{m ρ} Δ + i S^{m ρ}) ϕ

$V^\mu=\frac{\delta L}{\delta(\partial^\rho \phi)}(\eta^{\mu\rho}\Delta+i S^{\mu\rho})\phi$ se puede escribir como una divergencia

V^{m} = \partial_{α} σ^{α m}

$V^\mu=\partial_\alpha \sigma^{\alpha\mu}$ Si eso es cierto, entonces puede llegar a una modificación del tensor de estrés para que

T_{m}^{m} = \partial_{m} j_{D}^{m}

$T^\mu_\mu=\partial_\mu j^\mu_D$ dónde

j_{D}

$j_D$ es la corriente de dilatación. Entonces la invariancia de escala implica invariancia conforme. Consulte la sección 4.2.2 del libro de DiFrancesco para ver la derivación completa. Básicamente, si puede modificar el tensor de energía-momento para que no tenga rastro, de una manera que no estropee su conservación ni la identidad de Ward, entonces la teoría será conforme por (3).

En su ejemplo, puede calcular el Virial y ver si se puede escribir como la divergencia de otra cosa, si tiene éxito, entonces es de hecho conforme.

Lecturas adicionales sobre nuevos desarrollos en el tema de la invariancia de escala $\Rightarrow$ invariancia conforme:

http://arxiv.org/abs/1309.2921

http://arxiv.org/abs/1402.6322

http://arxiv.org/abs/1505.01152

En general, (1) es incorrecto: hay contraejemplos (teoría de la elasticidad, teorías torcidas topológicamente).
@HansMoleman, no diría que está mal porque todavía hay una gran clase de teorías en las que la escala implica conformidad. Los contraejemplos son más como una excepción a la regla y, por lo tanto, es interesante entender por qué la rompen. Por ejemplo, vea el último enlace donde consideran una SFT incrustada en una CFT y muestran que la primera tiene que ser trivial. No dice que no haya SFT no triviales, sino que si los hay, son exóticos. (Una motivación para esto es que los puntos fijos RG son conformes).
@HansMoleman Podría agregar que estoy considerando teorías unitarias. Por lo demás estoy de acuerdo con lo que dices.

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