¿Tenía razón Locke en que el conocimiento analítico es vacío?

Frege es el fundador de un programa llamado logicismo que pretendía reducir todas las matemáticas a la lógica. Para reducir las matemáticas a la lógica, Frege tuvo que ampliar lo que se entiende por lógica. Antes de él, Locke, Kant y otros entendían por lógica sólo la silogística de Aristóteles , que es una manipulación de implicaciones simples (silogismos). La Lógica de Frege fue mucho más allá y abarcó toda la aritmética en particular, si no toda la teoría de conjuntos. Pero derivable solo de la lógica es lo que los tres querían decir con "analítico". Bajo el logicismo, todas las matemáticas serían analíticas, incluida gran parte de lo que Kant llamó "a priori sintético" (pero no las partes relacionadas con la geometría y la física). Entonces, tanto Locke como Frege tenían razón, solo querían decir cosas diferentes por "analítico".

La concepción de Frege de lo analítico era convenientemente más amplia que la de Kant. Kant requería que los contenidos conceptuales fueran evidentes dentro de la oración, en lugar de que la oración se mostrara como una conclusión que se derivaba lógicamente de axiomas cuya propia verdad lógica o conceptual era evidente por sí misma, y ​​que podría contener expresiones que no aparecen en la oración en cuestión... Kant no consideró '7 + 5 = 12' como una verdad analítica. El fregeano, por el contrario, es capaz de explotar la estructura interna de los numerales e invocar la axiomas recursivos para la suma (que en sí mismos tendrían que haber sido derivados de forma logicista). Entonces, para Fregean, aunque no para Kant, '7 + 5 = 12' es una verdad analítica " .

El mejor intento de realizar el programa del logicismo fue el libro Principia Mathematica de Russell y Whitehead. Sin embargo, después de los resultados de Gödel sobre la incompletitud, el programa llegó a ser visto como un callejón sin salida y fue abandonado en gran medida. Más tarde, Quine argumentó convincentemente que la distinción analítica/sintética en sí misma, incluso en una forma revisada adoptada por los positivistas lógicos, no puede mantenerse en absoluto. Según Quine, todo conocimiento, incluidas las leyes de la lógica, es sintético y, en última instancia, empírico, lo que asestó un nuevo golpe al logicismo. Aunque ya no se cree que "todas las matemáticas" se reduzcan a la lógica, la lógica matemática moderna está mucho más cerca de la concepción de la lógica de Frege que de la de Kant o Locke.

La tesis de Frege no era que las matemáticas en su conjunto fueran analíticas, sino que la aritmética (la teoría de los números enteros) lo era. Frege criticó a Kant por la aritmética, pero estuvo de acuerdo con Kant en que la geometría era sintética. En cuanto a que el teorema de Pitágoras no puede deducirse solo de la definición de un triángulo, seguramente no hay discusión.

En general, haremos bien en no sobrestimar hasta qué punto la aritmética es afín a la geometría. . . A los efectos del pensamiento conceptual, siempre podemos suponer lo contrario de uno u otro de los axiomas geométricos, sin involucrarnos en ninguna autocontradicción. . . El hecho de que esto sea posible muestra que los axiomas de la geometría son independientes entre sí y de las leyes primitivas de la lógica y, en consecuencia, son sintéticos. (Frege, Los fundamentos de la aritmética §13 )