Sutileza en la derivación del teorema de Noether por Di Francesco

Question

Sutileza en la derivación del teorema de Noether por Di Francesco

Física
teorema de noethers
formalismo lagrangiano
física-matemática
cálculo variacional

c y f

En el libro 'Conformal Field Theory' de Di Francesco et al, se demuestra una derivación del teorema de Noether al imponer que, lo que creo que se dice que es un enfoque más elegante, el parámetro $\omega$ es explícitamente $x$ -dependiente, por lo que $\omega = \omega(x)$ para una transformación local y finalmente al final considerando una transformación global que en consecuencia da como resultado el teorema de Noether. La derivación está en las páginas 39-41.

Entiendo toda la derivación, sin embargo, me ha llamado la atención que toda la derivación parece basarse en un punto de partida inconsistente que, por lo tanto, haría que el resto del argumento, aunque fuera matemáticamente correcto, fuera completamente inútil.

En la página 39, Di Francesco escribe que las transformaciones infinitesimales genéricas de las coordenadas y el campo son, respectivamente,

X^{' m} = X^{m} + ω_{a} \frac{d X^{m}}{d ω_{a}}

$x'^{\mu} = x^{\mu} + \omega_a \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a}$

Φ^{'} (X^{'}) = Φ (X) + ω_{a} \frac{d F}{d ω_{a}} (X) .

$\Phi'(x') = \Phi(x) + \omega_a \frac{\delta F}{\delta \omega_a}(x).$ Esto está escrito bajo el supuesto de que el

ω_{a}

$\omega_a$ son parámetros infinitesimales, no funciones de

x

$x$ . Entonces, cuando usa este resultado en su derivación en la pág. 40 y dice que hará la suposición de que el

ω_{a}

$\omega_a$ son dependientes de

x

$x$ , ¿Como puede hacer esto?

Para mayor claridad, en caso de que me haya perdido algo, estaba teniendo esta discusión aquí: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=760137 y en la publicación 14 es donde surge la sutileza. Entonces, ¿es realmente un defecto? Realmente estoy buscando otra opinión sobre esto. Le pregunté a uno de los profesores de mi universidad y me dijo que siempre que la $x$ la dependencia es 'pequeña', entonces es válida, pero no estoy muy seguro de lo que eso significa exactamente.

Respuestas (1)

Sutileza en la derivación del teorema de Noether por Di Francesco

qmecanico · Answer 1

qmecanico

I) La pregunta de OP (v2) parece ser esencialmente una cuestión de precisión matemática frente a la forma en que los físicos se expresan de manera concisa cuando hablan de " infinitesimales " sin volverse demasiado técnicos al introducir épsilons y deltas y demás. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Quizás la forma más fácil y elemental de dar sentido a la "función infinitesimal" $\omega(x)$ en Di Francesco et. al., CFT, es pensar en él como un producto $^1$

ω (X) = d F (X),

$\omega(x)~=~\delta~f(x),$

dónde $f(x)$ es una función acotada $^2$ , p.ej $|f(x)|\leq 1$ ; y $\delta$ es una "constante infinitesimal". Una "constante infinitesimal" es solo jerga física para un número pequeño $\delta>0$ tan pequeño, que podemos despreciar las contribuciones de orden superior de $\delta$ en el cálculo, a la precisión $\epsilon>0$ que estamos trabajando.

II) En cuanto a la derivación del teorema de Noether mediante el truco de un $x$ -dependiente $\omega(x)$ , consulte esta publicación de Phys.SE.

--

$^1$ Hemos bajado el índice. $a$ en $\omega_a(x)$ por simplicidad.

$^2$ Técnicamente, puede ser conveniente asumir además que la función $f(x)$ Es diferenciable con derivada acotada, quizás incluso de soporte compacto . La función $f(x)$ tiene un papel no muy diferente a una función de prueba .

c y f

Hola Qmecánico. Entonces, solo para aclarar, ¿te parece bien la derivación de Di Francesco? Básicamente, está escribiendo.

ω

$\omega$ como una función de

x

$x$ todo, pero esto

x

$x$ dependencia expresada a través de su función

f (x)

$f(x)$ es suprimida por la constante

δ

$\delta$ que permite

ω

$\omega$ ser visto siempre como una función infinitesimal de

x

$x$ ?

qmecanico

Como siempre que los físicos escriben matemáticas, depende del lector puntear las i y cruzar las t. En otras palabras, si puede encontrar un contraejemplo a uno de los argumentos de Di Francesco et al, es probable que esté excluido por una suposición implícita, como, por ejemplo, se supone que todas las funciones son lo suficientemente diferenciables muchas veces, etc.

c y f

Bueno, gracias. Entonces, la forma en que Di Francesco escribió originalmente las transformaciones infinitesimales (como está escrito en el OP) son para una constante

ω

$\omega$ . Esas ecuaciones también son verdaderas para una transformación local,

ω = ω (x)

$\omega = \omega(x)$ proporcionó

ω (x)

$\omega(x)$ es de la forma que escribiste,

ω (x) = δ f (x)

$\omega(x) = \delta~ f(x)$ . ¿Sería eso correcto?

qmecanico

Hasta contribuciones de orden superior, y módulo por encima de las salvedades: Sí.

c y f

Tengo una pregunta final sobre la afirmación de que una transformación de simetría induce una cantidad conservada en virtud del teorema de Noether. Cuando decimos una 'transformación de simetría', entiendo que esto significa una en la que el funcional de acción permanece invariante, pero ¿esta invariancia es causada por una transformación trivial del campo? Por ejemplo, ¿las transformaciones de simetría lorentziana solo corresponden a aquellas en las que el campo es un escalar de lorentz (es decir, pertenece a la representación trivial del grupo de lorentz)?

qmecanico

Comentarios: 1. Una transformación de (cuasi)simetría conserva la acción

S

$S$ (hasta los términos de contorno). 2. Cuando se habla de una simetría de la acción

S

$S$ bajo un grupo

G

$G$ , las variables/campos en sí mismos no se transforman en (posiblemente múltiples copias de) el irrep trivial

G

$G$ . Si lo hicieran, la ley de conservación correspondiente sería una trivialidad a la

0 = 0

$0=0$ . (Tenga en cuenta que las transformaciones horizontales

δ x = \dots

$\delta x=\ldots$ puede inducir una terminología diferente de una representación: lo que parece una representación trivial desde un punto de vista (punto de vista) puede no ser trivial desde otro punto de vista).

c y f

Dado

S = \int_{D} d^{d} X L (ϕ, \partial ϕ)

$S = \int_{\mathcal D}\,\text{d}^d x \mathcal L(\phi, \partial \phi)$ tenemos eso

S^{'} = \int_{D} d^{d} X | \frac{\partial X^{'}}{\partial X} | L (F (ϕ (X)), \partial_{m}^{'} F (ϕ (X))),

$S' = \int_{\mathcal D}\,\text{d}^d x \left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right| \mathcal L(F(\phi(x)), \partial_{\mu}' F(\phi(x))),$ entonces esto me sugeriría que provisto, a) el factor jacobiano

| \partial x^{'} / \partial x |

$|\partial x'/\partial x|$ es la unidad, b)

F (ϕ (x)) = ϕ (x)

$F(\phi(x)) = \phi(x)$ , C)

\partial_{μ}^{'} F (ϕ (x)) = \partial_{μ} ϕ

$\partial_{\mu}' F(\phi(x)) = \partial_{\mu}\phi$ entonces se considera que la transformación es una simetría. ¿Sería eso correcto?

c y f

Supongo que esas condiciones a)-c) siempre harían

S^{'} = S

$S'=S$ , sin embargo, podrían surgir otras simetrías dependiendo de la forma y estructura del lagrangiano. Para ilustrar lo que quiero decir, bajo la transformación

ϕ^{'} (x) = e^{i θ} ϕ (x)

$\phi'(x) = e^{i\theta}\phi(x)$ tenemos una acción invariante para un lagrangiano dada aquí, al final de la primera página, itp.phys.ethz.ch/research/qftstrings/archive/12HSQFT1/…

Sutileza en la derivación del teorema de Noether por Di Francesco

c y f

Respuestas (1)

qmecanico

c y f

qmecanico

c y f

qmecanico

c y f

qmecanico

c y f

c y f

Derivación de la corriente de Noether

Simetrización del tensor canónico de energía-momento

¿Por qué la variación de simetría δsqδsq\delta_s q es diferente de la variación ordinaria δqδq\delta q?

Cierta confusión con respecto a los detalles de la formulación geométrica de la mecánica lagrangiana y el teorema de Noether

La derivación de ecuaciones fraccionarias

En un truco para derivar la corriente de Noether

La ecuación de Euler-Poincaré

Aclarando algunos detalles simples de los tipos de simetrías involucradas en el teorema de Noether

¿El cambio en el Lagrangiano es siempre una derivada total para las transformaciones de simetría de la acción?

¿Qué es el "término superficial"?