La derivación de ecuaciones fraccionarias

Recientemente vi algunos problemas físicos que pueden ser modelados por ecuaciones con derivadas fraccionarias, y tuve algunas dudas: ¿es posible escribir una acción que resulte en una ecuación con derivadas fraccionarias? Por ejemplo, considere un sistema físico hipotético con el principio de acción mínima. ¿Existe una "ecuación de onda" con la derivada del tiempo 3 / 2 ? ¿Tal pregunta tiene sentido?

Por curiosidad, ¿qué tipo de problemas físicos funcionan de esta manera?
@Spencer vi la primera vez en difusión anómala. Puede ver aquí, por ejemplo: pfi.uem.br/mfi/disserta_teses/teses_pdf/… (en portugués). Esta es una investigación de un sistema gobernado por una ecuación de Fokker-Planck no markoviana que están relacionadas con el modelo de peine.
Las fuerzas proporcionales a la velocidad, como la fricción, por ejemplo, se pueden describir poniendo derivadas fraccionarias en el Lagrangiano.
Aquí está el tomo con el que nuestro grupo trabajó mucho: Metzler, R. (2000). La guía del paseo aleatorio para la difusión anómala: un enfoque de dinámica fraccionaria. Informes de física, 339(1), 1–77. doi:10.1016/S0370-1573(00)00070-3 . Es una gran introducción al tema. Debería haber una preimpresión de arxiv disponible, pero no tengo el número a mano.

Respuestas (2)

Las derivadas fraccionarias no son locales, pero por lo general se supone que las acciones son locales.

la localidad o no localidad de una densidad lagrangiana depende del orden más alto de derivadas en sus diversos términos. Los términos con derivada de segundo orden (por ejemplo, términos cinéticos) son locales. Los términos con derivadas de orden 3 y superior no son locales, y el grado de no localidad se mide por el orden. Entonces, un término no local en una acción no implica que el problema variacional esté mal definido. Además, ¿por qué los derivados fraccionarios no son locales? Aún mejor, ¿qué es una derivada fraccionaria? Gracias.
Estimado @space_cadet, no, lo que escribes no es correcto. QGR tiene razón en que siempre que aparecen derivadas fraccionarias, la acción no es local. Basta con que aparezcan algunos términos, sean principales o no, y la acción tiene que ser no local. Al final de su respuesta, admite que realmente no sabe por qué no son locales. Bueno, es porque puedes escribir ∂ t k como mi k en la representación de la energía transformada de Fourier, y la transformación del operador mi k de vuelta a t la base no es local.
@space_cadet físico descuidado pensando aquí, pero creo que se puede hacer preciso: imagina tomar una serie de Taylor de la derivada fraccionaria --- tendría que ir a un orden infinito y, por lo tanto, sería altamente no local.
@space_cadet, una fracción derivada es un ejemplo simple de "operador pseudo-diferencial". Es un operador que se puede definir fácilmente, por ejemplo, con la transformada de Fourier (como dijo Lubos Motl). Puede definir el operador que en Fourier Transform es equivalente a pecado ⁡ k ... La derivada de fracciones es más simple, en Fourier Transform es una multiplicación para su variable de transformación k con exponente fraccionario ;-)
@Boy, @genneth - gracias. @Lubos, todo lo que decía es que, AFAIK, tener términos no locales es bastante común, p. teorías derivadas superiores de la gravedad. Por lo tanto, ser no local no debería ser un obstáculo para una acción con derivadas fraccionarias, como parece sugerir @QGR.

Cuando he visto derivadas fraccionarias, he asumido que un lugar donde surgirían naturalmente es en situaciones físicas donde hay una dependencia fraccionaria en el tiempo.

Por ejemplo, los paseos aleatorios normalmente dan como resultado un movimiento proporcional a t . Al buscar en Google "fractional+derivative+random+walk" en arxiv.org se encuentran algunos artículos que exploran esto:

http://www.google.com/search?q=fractional+derivative+random+walk+site%3Aarxiv.org

Así que me pregunto si hay alguna forma de relacionar algunas de las versiones de difusión de QM con derivadas fraccionarias.

Exactamente esto se hace aquí .
La derivación de ecuaciones fraccionarias
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