En un truco para derivar la corriente de Noether

I) Que se dé un funcional de acción local

$$S[\phi]~=~\int_V \mathrm{d}^nx ~{\cal L}, \tag{1}$$

con la densidad lagrangiana

$${\cal L}(\phi(x),\partial\phi(x),x). \tag{2}$$

[Dejamos al lector que se extienda a las teorías de derivadas superiores. Véase también, por ejemplo, Ref. 1.]

II) Queremos estudiar una variación infinitesimal$^1$

$$\delta x^{\mu}~=~\epsilon X^{\mu} \qquad\text{and}\qquad \delta\phi^{\alpha}~=~\epsilon Y^{\alpha}\tag{3}$$

de coordenadas espaciotemporales$x^{\mu}$y campos$\phi^{\alpha}$, con arbitraria$x$-infinitesimal dependiente$\epsilon(x)$, y con algunas funciones generadoras fijas dadas

$$X^{\mu}(x)\qquad\text{and}\qquad Y^{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),x).\tag{4}$$

Entonces la variación infinitesimal correspondiente de la acción$S$toma la forma$^2$

$$\delta S ~\sim~ \int_V \mathrm{d}^n x \left(\epsilon ~ k + j^{\mu} ~ d_{\mu} \epsilon \right) \tag{5}$$

para algunas funciones de estructura

$$k(\phi(x),\partial\phi(x),\partial^2\phi(x),x)\tag{6}$$

y

$$j^\mu(\phi(x),\partial\phi(x),x).\tag{7}$$

[Se puede mostrar que algunos términos en el$k$función de estructura (6) son proporcionales a eoms, que son típicamente de segundo orden, y por lo tanto la$k$la función de estructura (6) puede depender de derivadas del espacio-tiempo de segundo orden.]

III) A continuación suponemos que la acción$S$tiene una cuasisimetría$^3$por$x$-infinitesimal independiente$\epsilon$. Entonces la ec. (5) se reduce a

$$0~\sim~\epsilon\int_V \mathrm{d}^n x~ k. \tag{8}$$

IV) Ahora volvamos a la pregunta de OP. Debido al hecho de que la ec. (8) se cumple para todas las configuraciones de campo fuera de la carcasa, podemos mostrar que la ec. (8) sólo es posible si

$$k ~=~ d_{\mu}k^{\mu} \tag{9}$$

es una divergencia total. (Aquí las palabras on-shell y off-shell se refieren a si los eoms se cumplen o no). Con más detalle, hay dos posibilidades:

1. Si sabemos que la ec. (8) se cumple para cada región de integración$V$, podemos deducir la ec. (9) por localización.

2. Si solo sabemos que la ec. (8) se cumple para una única región de integración fija$V$, entonces la razón de la ec. (9) es que las derivadas de Euler-Lagrange del funcional$K[\phi]:=\int_V \mathrm{d}^n x~ k$debe ser idénticamente cero. Por lo tanto$k$en sí mismo debe ser una divergencia total, debido a un lema algebraico de Poincaré del llamado complejo bivariacional, véase, por ejemplo, Ref. 2. [Tenga en cuenta que, en principio, podría haber obstrucciones topológicas en el espacio de configuración de campo que arruinan esta prueba de eq. (9).] Ver también esta respuesta Phys.SE relacionada por mí.

V) Se puede demostrar que el$j^\mu$funciones de estructura (7) son precisamente las corrientes desnudas de Noether. A continuación, defina las corrientes de Noether completas

$$J^{\mu}~:=~j^{\mu}-k^{\mu}.\tag{10}$$

On-shell, después de una integración por partes, eq. (5) se convierte

$$\begin{align} 0~\sim~~~~~&\text{(boundary terms)}~\approx~ \delta S \cr ~\stackrel{(5)+(9)+(10)}{\sim}& \int_V \mathrm{d}^n x ~ J^{\mu}~ d_{\mu}\epsilon \cr ~\sim~~~~~& -\int_V \mathrm{d}^n x ~ \epsilon~ d_{\mu} J^{\mu} \end{align}\tag{11}$$

por arbitrario$x$-infinitesimal dependiente$\epsilon(x)$. La ecuación (11) es precisamente la ecuación buscada por OP. (*).

VI) La ecuación (11) implica (a través del lema fundamental del cálculo de variaciones ) la ley de conservación

$$d_{\mu}J^{\mu}~\approx~0, \tag{12}$$

de acuerdo con el teorema de Noether.

Referencias:

1. PK Townsend, Teoremas de Noether y derivados superiores, arXiv:1605.07128 .

2. G. Barnich, F. Brandt y M. Henneaux, Cohomología local BRST en teorías de norma, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

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$^1$Desde el$x$-dependencia de$\epsilon(x)$se supone que es solo un truco artificial impuesto por nosotros, podemos suponer que no aparecen derivados de$\epsilon(x)$en la ley de transformación (3), ya que tales términos desaparecerían de todos modos cuando$\epsilon$es$x$-independiente.

$^2$ Notación: El$\sim$el símbolo significa términos de frontera de módulo de igualdad. los$\approx$símbolo significa igualdad módulo eqs. de movimiento

$^3$Una cuasisimetría de una acción local$S=\int_V d^dx ~{\cal L}$significa que el cambio infinitesimal$\delta S\sim 0$es un término de frontera bajo la transformación de cuasisimetría.