Cierta confusión con respecto a los detalles de la formulación geométrica de la mecánica lagrangiana y el teorema de Noether

Question

Cierta confusión con respecto a los detalles de la formulación geométrica de la mecánica lagrangiana y el teorema de Noether

acción
Física
simetría
teorema de noethers
formalismo lagrangiano
cálculo variacional

charlie

Me gustaría resolver algunos problemas que tengo con respecto al procedimiento exacto de la mecánica lagrangiana cuando se formula como el paquete tangente del espacio de configuración. Estos problemas no son demasiado técnicos, pero enumeraré las definiciones a continuación para que todos estemos en la misma página y en caso de que mi confusión surja de definiciones incorrectas que serán evidentes desde el principio para el lector.

Definiciones:

Por espacio de configuración me refiero $\Bbb R^N:=M$ , el $N$ -variedad dimensional cuyos puntos están asociados a las posiciones de nuestras partículas. Esta pregunta no se relaciona con la generalización a las teorías de campo. El punto de partida de la mecánica lagrangiana es el haz tangente de esta variedad $\Bbb R^{2N}:=TM$ . El Lagrangiano es entonces una función escalar en el paquete tangente:

\begin{matrix} (1) & L : T METRO \to R . \end{matrix}

$\mathcal L:TM\rightarrow \Bbb R \tag{1}.$

La acción es un funcional que a priori es un funcional de trayectorias a través de $TM$ (en particular, no a través del espacio de configuración, en general, ya que $q(t)$ y $\dot q(t)$ son parámetros independientes a menos que estemos explícitamente en una solución a las ecuaciones de movimiento (EOM)).

Cuando decimos en el caparazón estamos restringiendo nuestra discusión de tal manera que el dominio del funcional de acción son aquellas trayectorias a través de $TM$ tal que se satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange. En este caso específico es suficiente especificar una curva a través del espacio de configuración ya que on-shell el $q(t)$ y $\dot q(t)$ Las coordenadas están relacionadas a través de $\dot q(t)=\frac{dq(t)}{dt}$ .

Cuando decimos fuera de la cáscara , queremos decir que estamos considerando todas las trayectorias posibles a través de $TM$ sin garantía de que se satisfagan las ecuaciones de Euler-Lagrange y, en particular, $\dot q(t)\neq \frac{dq(t)}{dt}$ en general.

Asumimos en todo momento que el Lagrangiano no tiene una dependencia temporal explícita.

Nota: Uso el término "simetría" aquí cuando quizás el término más correcto es "cuasi simetría" como lo explica QMechanic aquí y en varios otros lugares del sitio.

Ahora, el teorema de Noether establece que para cada simetría continua fuera del caparazón de la acción existe una cantidad conservada dentro del caparazón correspondiente $f(q(t),\dot q(t))$ , a menudo llamado "cargo Noether". Sin embargo, la pregunta de Physics SE aquí esencialmente pregunta si las simetrías del Lagrangiano y las simetrías de la acción son equivalentes, a lo que la respuesta (módulo algunos tecnicismos) es sí.

Mi problema es entonces cómo definir "simetrías de la acción" y "simetrías del Lagrangiano". Dado que estamos trabajando en una variedad, parece natural preguntar si una simetría del Lagrangiano simplemente significa que realizamos un cambio de coordenadas en $TM$ (es decir, trabajamos con transformaciones pasivas ) tales que la función Lagrangiana transformada es de la forma:

\begin{matrix} (2) & q (t) \to q^{'} (t), \dot{q} (t) \to {\dot{q}}^{'} (t) \Rightarrow L^{'} (q^{'} (t), {\dot{q}}^{'} (t)) = L (q (t), \dot{q} (t)) + \frac{d F}{d t} + O (ϵ^{2}) . \end{matrix}

$q(t)\rightarrow q'(t),\quad \dot q(t)\rightarrow \dot q'(t)\quad \Rightarrow\quad \mathcal L'(q'(t),\dot q'(t))=\mathcal L(q(t),\dot q(t))+\frac{dF}{dt}+\mathcal O(\epsilon^2) \tag{2}.$

En palabras, nuestra transformación de coordenadas induce un cambio en el Lagrangiano de primer orden tal que la diferencia es expresable como una derivada temporal total de alguna función $F(q(t),\dot q(t))$ . Si esto es incorrecto, agradecería alguna orientación hacia una respuesta más correcta.

Por otro lado, la acción es funcional , por lo que una "simetría" de la acción (¿puede?) Requiere una construcción diferente y, por lo tanto, exactamente cómo se haría para inducir un cambio en la acción es otro punto de confusión. Dado que estamos hablando de simetrías fuera de capa de la acción, asumo que debemos hablar sobre hacer algún cambio genérico en todas las curvas admisibles (suaves) a través del paquete tangente y preguntar si tal cambio:

\begin{matrix} (3) & γ (q (t), \dot{q} (t)) \to γ^{'} (q (t), \dot{q} (t)) \Rightarrow S [γ] = S [γ^{'}] . \end{matrix}

$\gamma (q(t),\dot q(t))\rightarrow \gamma'(q(t),\dot q(t))\quad \Rightarrow\quad S[\gamma]=S[\gamma'] \tag{3}.$

Una vez más, no estoy seguro de si esta es una descripción precisa de lo que estamos haciendo, y si no lo es, agradecería un empujón en la dirección correcta aquí también. Quizá las simetrías de la acción impliquen también simplemente un cambio de coordenadas en $TM$ , y no tenemos que molestarnos en hablar de transformaciones en el espacio de curvas $\gamma:[t_1,t_2]\rightarrow TM$ ?

Espero que esto no se considere demasiado volcado de información para ser responsable, sin embargo, no pude encontrar una respuesta en el sitio que hable explícitamente sobre la estructura geométrica diferencial y resuelva mis problemas.

Respuestas (3)

Cierta confusión con respecto a los detalles de la formulación geométrica de la mecánica lagrangiana y el teorema de Noether

ricardo myers · Answer 1

Primero, si lo entiendo correctamente, creo que tiene las definiciones correctas hasta las cosas que posiblemente sucedan en los límites de la región de integración (tiempo, aquí). Aunque si te preocupa la comparación entre el enunciado en términos de la acción y en términos del lagrangiano, quizás este no sea un punto despreciable.

Para comentar sobre las transformaciones en (2) y (3), tenga en cuenta que estas ideas pueden unificarse considerando la acción de un campo vectorial $\xi$ en TM como se define por su flujo (y por lo tanto, las transformaciones infinitesimales están dadas por los derivados de Lie... de hecho, la variación del Lagrangiano y la acción ahora también estarían dadas por la acción de Lie de $\xi$ ya que son escalares sobre TM). La ventaja de usar flujos es la eliminación de la dependencia de coordenadas ya que, al final del día, si todo lo que está haciendo es definir transformaciones de coordenadas, entonces cualquier cantidad buena e independiente de coordenadas en TM debe estar ciega a tales cambios.

Avíseme si esto no llega a lo que está buscando.

Es posible que esto no aborde directamente su pregunta tal como se planteó porque se trata de la teoría de campos y abandona esta descripción del paquete tangente, pero tal vez este tipo de cosas toque una fibra sensible si no lo ha encontrado antes.

qmecanico · Answer 2

Notación: tenga en cuenta que, a diferencia de OP, un punto denota diferenciación de tiempo
$\dot{q} \equiv \frac{d q}{d t}$ $\dot{q}~\equiv~ \frac{dq}{dt}$ en esta respuesta.
OP identifica correctamente esa posición generalizada $q$ y velocidad generalizada $v$ son variables independientes del lagrangiano $L(q,v,t)$ , cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Sin embargo, dada una transformación vertical infinitesimal $\delta q$ , la definición que $\delta$ es una cuasi-simetría infinitesimal del Lagrangiano $L$ es eso $\delta L(q,\dot{q},t)$ es una derivada del tiempo total, no es que $\delta L(q,v,t)$ es una derivada del tiempo total.
El problema en juego es similar a esta publicación Phys.SE relacionada.

Gracias por proporcionar una respuesta a esta pregunta también. Agradezco su tiempo. Como seguimiento al punto 3, la implicación aquí es que durante cualquier transformación en el dominio de la acción $(q(t)\rightarrow q'(t))$ el cambio inducido a la curva en el paquete tangente (a lo largo del cual integramos la función Lagrangiana) es tal que $\dot q(t)=dq(t)/dt$ $\forall t$ ? En otras palabras, el único punto en nuestra discusión de la mecánica clásica en el que $q$ y $\dot q$ (o $q$ y $v$ como anota en su respuesta) son cantidades independientes en su papel como funciones de coordenadas en $TM$ .
si, con $\dot{q}$ en su notación siendo $v$ en mi notación :)

charlie · Answer 3

Después de leer bastante durante las últimas 24 horas, creo que ahora estoy en condiciones de responder esta pregunta.

La respuesta dada aquí por ACuriousMind responde a mi pregunta sobre el dominio de la acción funcional. En resumen, mientras $q$ y $\dot q$ son, por supuesto, funciones independientes en el nivel múltiple en el paquete tangente $TM$ , no consideramos las curvas arbitrarias a través del paquete tangente como el dominio de la acción. Más bien, se curva a través de $M$ (espacio de configuración), $\gamma(q(t))$ , naturalmente inducen curvas en $TM$ , $\bar \gamma(q(t),\dot q(t))$ , tal que la acción está definida por:

\begin{matrix} (1) & S [γ (q (t))] = \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t L (\bar{γ} (q (t), \dot{q} (t)) . \end{matrix}

$S[\gamma(q(t))]=\int_{t_0}^{t_1}dt\text{ }\mathcal L(\bar \gamma(q(t),\dot q(t)) \tag{1}.$

Así que en todo momento mientras variamos nuestra trayectoria (ya sea en la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange o en el teorema de Noether) estamos tratando con curvas a través del espacio de configuración , ya que este es el dominio de la acción.

Mi definición de on-shell y off-shell también es incorrecta. Off-shell se refiere a las curvas $\bar \gamma(q(t),\dot q(t))$ (en el cual $\dot q=dq(t)/dt$ ) que no resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange, on-shell se refiere al subconjunto de estas curvas que sí resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange.

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