La ecuación de Euler-Poincaré

1. El principio de acción estacionaria y las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) son construcciones muy amplias y generales. Las variables de campo en el principio variacional podrían, en principio, mapear en alguna variedad genérica $M$.

2. Por otro lado, las ecuaciones de Euler-Poincaré (EP) aparecen en la situación especial donde la variedad es un grupo de Lie$M=G$, y la acción queda-$G$- invariante. A continuación, se utiliza el mapa exponencial para hacer que las variables tengan valores de álgebra de Lie (en lugar de valores de grupo de Lie). Las ecuaciones EP dicen

   $$\left( \frac{d}{dt}+ {\rm ad}^{\ast}_{\xi}\right) \frac{\delta \ell}{\delta\xi}~=~0,$$ donde las variables$\xi$son valores de álgebra de Lie. Las ecuaciones EP valoradas en álgebra de Lie son equivalentes a las ecuaciones EL valoradas en grupo de Lie para el mismo problema. Ver ref. 1 para más detalles.

3. Las ecuaciones de Euler (E) para un cuerpo rígido son un caso especial de las ecuaciones EP.

Referencias:

1. JE Marsden y TS Ratiu, Intro to Mechanics and Symmetry, 2nd Eds, 1998; Sección 13.5.