Aclarando algunos detalles simples de los tipos de simetrías involucradas en el teorema de Noether

Solo me gustaría asegurarme de que he entendido completamente el contenido del teorema de Noether y algunos de sus detalles. La declaración genérica del teorema de Noether es relativamente sencilla, sin embargo, hay sutilezas asociadas con lo que constituye exactamente una simetría y las consecuencias de trabajar dentro y fuera del caparazón.

---

Simetría

Discuto dos nociones de simetría aquí, son:

Cuasi-simetría : En la que, a primer orden, la acción cambia por un término de frontera y/o el Lagrangiano cambia por una derivada total:

$$\delta S=[B(q)]_{t_0}^{t_1},\quad \delta L=\frac{dF(q)}{dt} \tag{1.a}.$$

Simetría : en la que, a primer orden, ambas cantidades son invariantes :

$$\delta S=0,\quad \delta L=0. \tag{1.b}$$

---

En el caparazón vs. fuera del caparazón

Por on-shell nos referimos al subconjunto de curvas a través del espacio de configuración,$Q\cong R^N$, que resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Por off-shell nos referimos al conjunto más general de curvas que no necesariamente resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange.

---

Teorema de Noether

Ahora discutimos el contenido real del teorema de Nother, que una simetría fuera del caparazón (o más generalmente cuasi-simetría) de la acción implica la existencia de una cantidad conservada en el caparazón . En otras palabras, una transformación genérica sobre el dominio del funcional de acción implica una cantidad conservada a lo largo del subconjunto del dominio que resuelve las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Un cambio infinitesimal genérico a la acción se puede escribir:

$$\delta S[q(t)]=\int_{t_0}^{t_1} dt\left( \frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right)\right)\delta q+\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_0}^{t_1}, \tag{2}$$

Si ahora trabajamos en shell, en el que$q(t)$resuelve las ecuaciones EL y el integrando desaparece, nos quedan algunas posibilidades:

1. $\delta q$satisface la condición de frontera$\delta q(t_0)=\delta q(t_1)=0$, en cuyo caso el término límite se anula y esto es simplemente el enunciado de que todas las transformaciones de primer orden de la acción a lo largo de las ecuaciones de movimiento se anulan.

2. $\delta q$no satisface las condiciones de contorno, en cuyo caso nos quedan dos posibilidades más, ya sea$\delta q$es una simetría o$\delta q$es una cuasi-simetría (suponiendo, por supuesto, que sea una simetría).

Si$\delta q$es una simetría, entonces lo siguiente es cierto:

$$\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_0}^{t_1}=0\quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right)=0, \tag{3}$$ y obtenemos nuestra "carga Noether" conservada.

Si acaso$\delta q$es una cuasi-simetría entonces encontramos por (1.a):

$$\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_0}^{t_1}=\left[B(q(t))\right]_{t_0}^{t_1}\quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q-B(q(t))\right)=0, \tag{4}$$

y obtenemos una carga de Noether ligeramente diferente. Finalmente, podemos (cf. esta publicación ) relacionar la cuasi-simetría de la acción y la cuasi-simetría del Lagrangiano por:

$$B(q(t))=F(q(t)) \tag{5},$$

que cierra los posibles resultados.

Mi pregunta es si las declaraciones anteriores son correctas si limitamos nuestra atención a las cuasi-simetrías, y si no, ¿en qué parte de mis definiciones y/o derivación he cometido errores?

Entiendo que esta es una pregunta un poco abierta, pero este tema se discute extensamente en este sitio, y después de una lectura bastante extensa de preguntas relacionadas, creo que esta pregunta de resumen cumple un buen papel. Pero disculpas si va contra las reglas.