¿El cambio en el Lagrangiano es siempre una derivada total para las transformaciones de simetría de la acción?

1. La definición 1 de OP a menudo se llama cuasi-simetría$^1$(QS) de la densidad lagrangiana${\cal L}$, o de manera equivalente, un QS del Lagrangiano$n$-forma

   $$\mathbb{L}~=~{\cal L}~\mathrm{d}x^0 \wedge \ldots \wedge \mathrm{d}x^{n-1}.$$

2. La definición 2 de OP debe relajarse a una cuasi-simetría (QS) de la acción

   $$S_{\Omega}~=~\int_{\Omega} \mathbb{L} ,$$ donde se permite que la acción cambie con términos de contorno. [Esto se debe en parte a que las variaciones de Noether no necesariamente satisfacen las condiciones de contorno que solemos imponer al derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL)].

3. La siguiente implicación es trivial:

   Un QS de la densidad lagrangiana${\cal L}$es también un QS de la acción$S_{\Omega}$.

   La pregunta principal de OP es

   ¿Qué pasa con la dirección opuesta?

   ¡Buena pregunta! Supongamos que sabemos que una transformación es un QS para$S_{\Omega}$para al menos una única región de integración fija$\Omega$. Entonces todavía es posible concluir que es un QS de densidad lagrangiana${\cal L}$si

   • (i) la densidad lagrangiana${\cal L}$es local y

   • (ii) si el espacio de configuración del campo es contractible .

   Esto se debe a un lema algebraico de Poincaré, cf. Árbitro. 1. Tenga en cuenta en particular que las posibles obstrucciones topológicas viven en el espacio de configuración del campo, no en la región del espacio-tiempo$\Omega$.

4. Ejemplo. Dejar

   $$\mathbb{L}~=~L~\mathrm{d}t, \qquad L~=~\frac{1}{2}\left(-ig^{-1}\dot{g}\right)^2 ~=~\frac{1}{2}\dot{\theta}^2 ,\qquad \Omega~=~[t_i,t_f],$$ dónde $$g~=~e^{i\theta}~\in~ U(1)~\cong~ S^1$$ es$U(1)$-valorado con$|g|=1$. Aquí$\theta\in\mathbb{R}$es una variable de ángulo de varios valores$\theta\sim \theta+2\pi$, y por lo tanto no es una coordenada globalmente bien definida per se. Tenga en cuenta en particular que el espacio de configuración de campo$S^1$no es contraible.

   Considere una transformación infinitesimal

   $$\delta g ~=~i\varepsilon t~ g, \qquad \delta\theta ~=~-ig^{-1} \delta g~=~\varepsilon t,$$ dónde$\varepsilon$es un$t$-parámetro infinitesimal independiente. La transformación no es un QS del Lagrangiano $$\delta L ~=~\varepsilon\dot{\theta} ~=~ \varepsilon\left(-ig^{-1}\dot{g}\right),$$ porque no se puede escribir como derivada del tiempo total usando solo buenas coordenadas. Pero el cambio de la acción es $$\delta S_{\Omega}~=~\varepsilon(\theta(t_f)-\theta(t_i))$$ que es una integral de frontera bien definida, que es independiente de la$\theta$-rama. Entonces la transformación es un QS de la acción. El cargo Noether correspondiente $$Q~=~t\dot{\theta}-\theta$$ carece de buenas coordenadas.

Referencias:

1. G. Barnich, F. Brandt y M. Henneaux, Cohomología local BRST en teorías de norma, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .

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$^1$En esta respuesta, por simplicidad, solo consideraremos variaciones/transformaciones infinitesimales .