Sustitución trigonométrica y triángulos

Question

Sustitución trigonométrica y triángulos

John

Estoy aprendiendo sustituciones trigonométricas y tengo algunos problemas para entender la intuición detrás de las conversiones (¿por qué la mayoría usa la secante?). Si pudieras explicar las conversiones geométricamente usando un triángulo, sería muy útil. Por ejemplo, si tenemos

\int \frac{\sqrt{X^{2} - 4}}{X} d X

$\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}\,dx$ Traté de construir un triángulo así:

Llegar

pecado (θ) = \frac{\sqrt{X^{2} - 4}}{X}

$\sin(\theta)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}$

Pero esto es incorrecto para su uso como sustitución. ¿Por qué?

Respuestas (4)

Sustitución trigonométrica y triángulos

wltrup · Answer 1

Creo que la forma de pensar sobre las sustituciones trigonométricas es recordar el resultado fundamental de que

{pecado}^{2} a + {porque}^{2} a = 1

$\sin^2a + \cos^2a = 1$

para cualquier ángulo $a$ . Entonces, en tu ejemplo, tienes una raíz cuadrada

\sqrt{X^{2} - 4}

$\sqrt{x^2 - 4}$

Imagina por un momento que ese 4 fuera un 1 y que estuvieran al revés, así:

\sqrt{1 - X^{2}}

$\sqrt{1 - x^2}$

Entonces la sustitución $x = \sin\theta$ daría como resultado algo simple, sin la raíz cuadrada, a saber

\sqrt{1 - X^{2}} = \sqrt{1 - {pecado}^{2} θ} = porque θ

$\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta$

Esa es la esencia detrás de las sustituciones trigonométricas.

Ahora, en tu caso en particular, las cosas no son tan simples así que vamos a resolverlo paso a paso. Primero, imagina que el 4 es un 1:

\sqrt{X^{2} - 1}

$\sqrt{x^2 - 1}$

no podemos usar $x = \sin\theta$ , ni $x = \cos\theta$ , aquí porque obtendríamos la raíz cuadrada de una cantidad negativa. Por ejemplo, usando $x = \sin\theta$ ,

\sqrt{X^{2} - 1} = \sqrt{- {porque}^{2} θ}

$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{-\cos^2\theta}$

Entonces, ¿cómo podemos usar la relación fundamental en la parte superior de esta publicación para obtener algo como $x^2 - 1$ ? Bueno, divide ambos lados por $\cos^2a$ y escríbelo de la siguiente manera:

\frac{{pecado}^{2} a}{{porque}^{2} a} + \frac{{porque}^{2} a}{{porque}^{2} a} = \frac{1}{{porque}^{2} a} \to {broncearse}^{2} a = \frac{1}{{porque}^{2} a} - 1 = {segundo}^{2} a - 1

$\frac{\sin^2a}{\cos^2a} + \frac{\cos^2a}{\cos^2a} = \frac{1}{\cos^2a} \quad \rightarrow \quad \tan^2a = \frac{1}{\cos^2a} - 1 = \sec^2a - 1$

Ahora es obvio que $x = \sec\theta$ danos

\sqrt{X^{2} - 1} = \sqrt{{segundo}^{2} θ - 1} = \sqrt{{broncearse}^{2} θ} = broncearse θ

$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2\theta - 1} = \sqrt{\tan^2\theta} = \tan\theta$

y una vez más nos deshicimos de la raíz cuadrada. Lo único que queda es el 4. Podemos lidiar con eso escalando. Elegir $x = 2\sec\theta$ , en cambio, así

\sqrt{X^{2} - 4} = \sqrt{4 {segundo}^{2} θ - 4} = \sqrt{4 ({segundo}^{2} θ - 1)} = \sqrt{4 {broncearse}^{2} θ} = 2 broncearse θ

$\sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{4\sec^2\theta - 4} = \sqrt{4(\sec^2\theta - 1)} = \sqrt{4\tan^2\theta} = 2\tan\theta$

Entonces, para resumir, todo lo que realmente necesita recordar es la relación fundamental en la parte superior de esta publicación y "masajearla" según sea necesario para deshacerse de las raíces cuadradas que se interponen en su camino.

Los dos formularios principales que usará son:

{pecado}^{2} a + {porque}^{2} a = 1

$\sin^2a + \cos^2a = 1$

y

{broncearse}^{2} a + 1 = {segundo}^{2} a

$\tan^2a + 1 = \sec^2a$

que, como hemos visto, son realmente una y la misma.

papágris · Answer 2

papágris

La intuición de usar trig-sub se debe a que a veces un problema se vuelve más fácil cuando haces sustituciones. Principalmente, agrupar cantidades que parecen "desagradables" en paquetes pequeños y ordenados puede ahorrarle un dolor de cabeza. Observe que donde colocó las cantidades " $2$ " y " $\sqrt{x^2-4}$ " en su imagen eran arbitrarios . Intente cambiarlos y vea qué sucede. Su respuesta seguirá siendo correcta.

John

¿No puede ser arbitrario?

papágris

@Anónimo No. El único requisito absoluto de su triángulo rectángulo es que la hipotenusa tenga una longitud

x

$x$ . El otro requisito es que los catetos del triángulo tengan una longitud

2

$2$ y longitud

\sqrt{x^{2} - 4}

$\sqrt{x^2-4}$ . Pero en ningún momento hay razón para creer que

2

$2$ debe ser la base, o

\sqrt{x^{2} - 4}

$\sqrt{x^2-4}$ la altura. Esto hace que la elección sea arbitraria. Como tal, puede intercambiar libremente los dos.

John

Todavía tengo problemas para ver por qué sustituir el pecado sería incorrecto si podemos intercambiar los dos libremente.

papágris

@Anónimo oh, no es incorrecto. Obtendrá el mismo resultado si continúa con la integración.

papágris

@Anónimo Además, calculaste

d θ

$\text{d}\theta$ ¿bien? Tienes que encontrar un sustituto para

d x

$\text{d}x$ en términos de

θ

$\theta$ si aún no lo ha hecho.

Miguel · Answer 3

La idea es eliminar la raíz cuadrada. Para $\sqrt{x^2+a^2}$ , la sustitución $x=a\tan t$ hace la raiz cuadrada

\sqrt{a^{2} {broncearse}^{2} t + a^{2}} = \sqrt{a^{2} {segundo}^{2} t} = \pm a segundo t

$\sqrt{a^2\tan^2t+a^2}=\sqrt{a^2\sec^2t}=\pm a\sec t$

Similarmente, $x=a\sin t$ elimina la raíz cuadrada de la forma $\sqrt{a^2-x^2}$ . Su ejemplo es el tercer caso, $\sqrt{x^2-a^2}$ . Así que esta vez la secante elimina el radical.

X = 2 segundo t, d X = 2 segundo t broncearse t d t

$x=2\sec t,dx=2\sec t\tan tdt$

La integral ahora se convierte en

\int \frac{\sqrt{4 {segundo}^{2} t - 4}}{2 segundo t} 2 segundo t broncearse t d t =

$\int\frac{\sqrt{4\sec^2t-4}}{2\sec t}2\sec t\tan tdt=$

\int \pm 2 {broncearse}^{2} t d t

$\int\pm2\tan^2tdt$

Una identidad trigonométrica más y la integral se resuelve fácilmente. Creo que el problema del signo generalmente se ignora, aunque puede entrar en juego para integrales definidas basadas en los límites.

colormegone · Answer 4

No es que esté mal tomar la integral de la manera que propones, simplemente no es muy conveniente. Si derivamos implícitamente su ecuación de sustitución, obtenemos

porque θ d θ = \frac{X \cdot \frac{1}{2} (X^{2} - 4)^{- 1 / 2} \cdot 2 X - (X^{2} - 4)^{1 / 2} \cdot 1}{X^{2}} d X

$\cos \theta \ d\theta \ = \ \frac{x \ \cdot \frac{1}{2} \ (x^2 - 4)^{-1/2} \ \cdot 2x \ - \ (x^2 - 4)^{1/2} \ \cdot \ 1}{x^2} \ dx$

= \frac{4}{X^{2} (X^{2} - 4)^{1 / 2}} d X = {(\frac{2}{X})}^{2} \cdot \frac{2}{(X^{2} - 4)^{1 / 2}} \cdot \frac{1}{2} d X

$= \ \frac{4}{x^2 \ (x^2 - 4)^{1/2}} \ dx \ = \ \left(\frac{2}{x} \right)^2 \cdot \ \frac{2}{ \ (x^2 - 4)^{1/2}} \ \cdot \ \frac{1}{2} \ \ dx$

= \frac{1}{2} \cdot {porque}^{2} θ \cdot \frac{1}{broncearse θ} d X

$= \frac{1}{2} \ \cdot \ \cos^2 \theta \ \cdot \ \frac{1}{\tan \theta} \ \ dx$

[usando tu triángulo rectángulo]

\Rightarrow d X = 2 broncearse θ \cdot \frac{porque θ}{{porque}^{2} θ} d θ = 2 broncearse θ segundo θ d θ,

$\Rightarrow \ \ dx \ = \ 2 \ \tan \theta \ \cdot \ \frac{\cos \theta}{\cos^2 \theta} \ \ d\theta \ = \ 2 \ \tan \theta \ \sec \theta \ \ d\theta \ \ ,$

que es solo el resultado que muestra Mike . Siguiendo tu ejemplo, la integral se convierte en

\int pecado θ (2 broncearse θ segundo θ d θ) = 2 \int pecado θ broncearse θ \frac{1}{porque θ} d θ = 2 \int {broncearse}^{2} θ d θ .

$\int \ \sin \theta \ ( \ 2 \ \tan \theta \ \sec \theta \ \ d\theta \ ) \ = \ 2 \int \ \sin \theta \ \tan \theta \ \frac{1}{\cos \theta} \ \ d\theta \ = \ 2 \int \ \tan^2 \theta \ \ d\theta \ \ .$

Sin embargo, hay formas más fáciles de llegar allí.

Sustitución trigonométrica y triángulos

John

Respuestas (4)

wltrup

papágris

John

papágris

John

papágris

papágris

Miguel

colormegone

¿En qué me equivoqué al resolver ∫x2−1√x4dx∫x2−1x4dx\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx?

¿Por qué podemos eliminar el signo absoluto en este caso de sustitución trigonométrica?

Integración de ∫dxx2x2+9√∫dxx2x2+9 \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 9}} usando sustitución trigonométrica

¿Cuáles son las condiciones formales necesarias y suficientes para que u-sub funcione?

¿Por qué este tipo de sustitución funciona en la integración?

¿Cómo puedo resolver ∫1+x2−−−−−√dx∫1+x2dx\int \sqrt{1+x^2}\,dx? [duplicar]

Evalúa ∫x381x2−16√dx∫x381x2−16dx\int\frac{x^3}{\sqrt{81x^2-16}}dx usando sustitución trigonométrica

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?

¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

Derivando la propiedad de la Función Gamma