¿Por qué podemos eliminar el signo absoluto en este caso de sustitución trigonométrica?

Question

¿Por qué podemos eliminar el signo absoluto en este caso de sustitución trigonométrica?

cálculo
integración
Matemáticas
sustitución
trigonometría
Integrales trigonométricas

gambitocuadrado

Mi pregunta es sobre eliminar el signo absoluto al resolver esta integral usando sustitución:

\int \frac{d X}{X^{2} (X^{2} - 1)^{3 / 2}}

$\int\frac{dx}{x^2(x^2-1)^{3/2}}$

Podemos hacer la siguiente sustitución: $x=\sec\theta$ y $dx=\sec\theta\tan\theta d\theta$ :

\int \frac{s mi C θ broncearse θ d θ}{{segundo}^{2} θ ({broncearse}^{2} θ)^{3 / 2}}

$\int\frac{sec\theta\tan\theta d\theta}{\sec^2\theta(\tan^2\theta)^{3/2}}$

que es igual a:

\int \frac{broncearse θ d θ}{segundo θ | broncearse θ |^{3}}

$\int\frac{\tan\theta d\theta}{\sec\theta|\tan\theta|^{3}}$

Desde $\theta=arcsec(x)$ podemos concluir lo siguiente (creo):

Cuando $x\ge1$ entonces $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ asi que, por lo tanto $\tan\theta\ge 0$ y podemos eliminar los signos absolutos.
Pero cuando $x\le-1$ entonces $\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi$ y luego $\tan\theta\le 0$ y por lo tanto creo que no podemos eliminar el signo absoluto.

Pero de acuerdo con mi libro de cálculo, podemos eliminar el signo absoluto. Entonces, ¿qué está pasando aquí?

EDITAR: Lo que más me confunde es que la respuesta correcta parece no estar dividida en dos dominios. La respuesta correcta aparentemente es:

\frac{1 - 2 X^{2}}{X \sqrt{X^{2} - 1}}

$\frac{1-2x^2}{x\sqrt{x^2-1}}$

... para todos los dominios (!) según Wolfram Alpha

Sang Chul Lee

Estás en lo correcto. Quitando el signo absoluto de

| \tan θ |^{3}

$\lvert \tan\theta \rvert^3$ para obtener

\tan^{3} θ

$\tan^3\theta$ es válido sólo cuando

θ > 0

$\theta > 0$ (o equivalente,

x > 1

$x > 1$ ). Aunque no siempre es el caso, parece que algunos libros de texto de cálculo tienden a ser descuidados al especificar el dominio correcto en el que funciona una técnica de integración particular.

gambitocuadrado

@SangchulLee Si tengo razón, ¿por qué la división en dominios no se refleja en la respuesta final? (Ver mi edición de la pregunta)

Sang Chul Lee

Esta sustitución conduce a

\frac{1 - 2 {segundo}^{2} θ}{segundo θ broncearse θ} + C .

$\frac{1-2\sec^2 \theta}{\sec\theta \tan\theta}+C.$ Para enchufar

x = \sec θ

$x=\sec\theta$ , todavía tenemos que resolver el signo de

\tan θ

$\tan\theta$ , porque de lo contrario recogerás el signo de

\sec θ

$\sec\theta$ (que es igual al signo de

x

$x$ ) y obtener

\frac{1 - 2 {segundo}^{2} θ}{segundo θ broncearse θ} = firmar (X) \frac{1 - 2 X^{2}}{X \sqrt{X^{2} - 1}} .

$\frac{1-2\sec^2 \theta}{\sec\theta \tan\theta}=\operatorname{sign}(x)\frac{1-2x^2}{x\sqrt{x^2-1}}.$ por supuesto, cuando

x > 1

$x > 1$ este letrero simplemente desaparece y podemos ignorarlo con seguridad, pero cuando comenzaste desde

x < 1

$x<1$ , esta señal también se cancela con la señal que recogiste de

| \tan θ |^{3} = - \tan^{3} θ

$\lvert\tan\theta\rvert^3=-\tan^3\theta$ .

gambitocuadrado

@SangchulLee Pero según Wolfram Alpha, no necesitamos el

s i g n (x)

$sign(x)$

Sang Chul Lee

Agregué la explicación. :)

gambitocuadrado

@SangchulLee No lo entiendo: el signo menos que recogimos

- t a n^{3} θ

$-tan^3\theta$ ES la causa de

s i g n (x)

$sign(x)$ ¿no es así?

Sang Chul Lee

Bueno, recogiste uno

s i g n (x)

$\mathrm{sign}(x)$ al despojarse de los signos absolutos de

| \tan^{3} θ |

$\lvert\tan^3\theta\rvert$ . Pero luego tomas otro

s i g n (x)

$\mathrm{sign}(x)$ al reescribir la integral

\int \frac{d θ}{segundo θ {broncearse}^{2} θ} = \frac{1 - 2 {segundo}^{2} θ}{segundo θ broncearse θ} + C

$\int\frac{d\theta}{\sec\theta\tan^2\theta}=\frac{1-2\sec^2\theta}{\sec\theta\tan\theta}+C$ en términos de

x

$x$ . Entonces eventualmente se cancelan en ambos casos.

x > 1

$x>1$ y

x < 1

$x<1$ . Poniendo en total, tenemos

\int \frac{d X}{X^{2} (X^{2} - 1)^{3 / 2}} = s i gramo norte (broncearse θ) \int \frac{d θ}{segundo θ {broncearse}^{2} θ} = \frac{1 - 2 {segundo}^{2} θ}{segundo θ | broncearse θ |} + C = \frac{1 - 2 X^{2}}{X \sqrt{X^{2} - 1}} + C .

$\int\frac{dx}{x^2(x^2-1)^{3/2}}=\mathrm{sign}(\tan\theta)\int\frac{d\theta}{\sec\theta\tan^2\theta}=\frac{1-2\sec^2 \theta}{\sec\theta\lvert \tan\theta\rvert}+C=\frac{1-2x^2}{x\sqrt{x^2-1}}+C.$

Sang Chul Lee

De hecho, es

\cos θ = - | \cos θ |

$\cos\theta=-\lvert\cos\theta\rvert$ cuando

\frac{π}{2} < θ < π

$\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ . De todos modos,

| \tan θ | = \sqrt{\sec^{2} θ - 1}

$\lvert\tan\theta\rvert=\sqrt{\sec^2\theta-1}$ siempre es cierto y por eso no tenemos

s i g n (x)

$\mathrm{sign}(x)$ al final.

gambitocuadrado

@SangchulLee ¡Tus comentarios ayudaron mucho! Si lo transformas en una respuesta, puedo aceptar la respuesta.

Respuestas (1)

¿Por qué podemos eliminar el signo absoluto en este caso de sustitución trigonométrica?

Estás en lo correcto. Quitando el signo absoluto de $\lvert \tan\theta \rvert^3$ para obtener $\tan^3\theta$ es válido sólo cuando $\theta > 0$ (o equivalente, $x > 1$ ). Aunque no siempre es el caso, parece que algunos libros de texto de cálculo tienden a ser descuidados al especificar el dominio correcto en el que funciona una técnica de integración particular.
@SangchulLee Si tengo razón, ¿por qué la división en dominios no se refleja en la respuesta final? (Ver mi edición de la pregunta)
Esta sustitución conduce a $\frac{1 - 2 {segundo}^{2} θ}{segundo θ broncearse θ} + C .$ $\frac{1-2\sec^2 \theta}{\sec\theta \tan\theta}+C.$ Para enchufar $x=\sec\theta$ , todavía tenemos que resolver el signo de $\tan\theta$ , porque de lo contrario recogerás el signo de $\sec\theta$ (que es igual al signo de $x$ ) y obtener $\frac{1 - 2 {segundo}^{2} θ}{segundo θ broncearse θ} = firmar (X) \frac{1 - 2 X^{2}}{X \sqrt{X^{2} - 1}} .$ $\frac{1-2\sec^2 \theta}{\sec\theta \tan\theta}=\operatorname{sign}(x)\frac{1-2x^2}{x\sqrt{x^2-1}}.$ por supuesto, cuando $x > 1$ este letrero simplemente desaparece y podemos ignorarlo con seguridad, pero cuando comenzaste desde $x<1$ , esta señal también se cancela con la señal que recogiste de $\lvert\tan\theta\rvert^3=-\tan^3\theta$ .
@SangchulLee Pero según Wolfram Alpha, no necesitamos el $sign(x)$
@SangchulLee No lo entiendo: el signo menos que recogimos $-tan^3\theta$ ES la causa de $sign(x)$ ¿no es así?
Bueno, recogiste uno $\mathrm{sign}(x)$ al despojarse de los signos absolutos de $\lvert\tan^3\theta\rvert$ . Pero luego tomas otro $\mathrm{sign}(x)$ al reescribir la integral $\int \frac{d θ}{segundo θ {broncearse}^{2} θ} = \frac{1 - 2 {segundo}^{2} θ}{segundo θ broncearse θ} + C$ $\int\frac{d\theta}{\sec\theta\tan^2\theta}=\frac{1-2\sec^2\theta}{\sec\theta\tan\theta}+C$ en términos de $x$ . Entonces eventualmente se cancelan en ambos casos. $x>1$ y $x<1$ . Poniendo en total, tenemos $\int \frac{d X}{X^{2} (X^{2} - 1)^{3 / 2}} = s i gramo norte (broncearse θ) \int \frac{d θ}{segundo θ {broncearse}^{2} θ} = \frac{1 - 2 {segundo}^{2} θ}{segundo θ | broncearse θ |} + C = \frac{1 - 2 X^{2}}{X \sqrt{X^{2} - 1}} + C .$ $\int\frac{dx}{x^2(x^2-1)^{3/2}}=\mathrm{sign}(\tan\theta)\int\frac{d\theta}{\sec\theta\tan^2\theta}=\frac{1-2\sec^2 \theta}{\sec\theta\lvert \tan\theta\rvert}+C=\frac{1-2x^2}{x\sqrt{x^2-1}}+C.$
De hecho, es $\cos\theta=-\lvert\cos\theta\rvert$ cuando $\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ . De todos modos, $\lvert\tan\theta\rvert=\sqrt{\sec^2\theta-1}$ siempre es cierto y por eso no tenemos $\mathrm{sign}(x)$ al final.
@SangchulLee ¡Tus comentarios ayudaron mucho! Si lo transformas en una respuesta, puedo aceptar la respuesta.

usuario14972 · Answer 1

Puede elegir un dominio diferente para $\theta$ ; Por ejemplo, $\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi, \frac{3\pi}{2})$ .

Como $\theta$ rangos desde $\pi$ a $3\pi/2$ , $\sec(\theta)$ disminuye de $-1$ a $-\infty$ y $\tan(\theta)$ aumenta de $0$ a $+\infty$ .

En particular, en este dominio para $\theta$ la sustitución $x = \sec(\theta)$ todavía cubre el dominio $x \in (-\infty, -1)$ , Pero tú tienes $\tan(\theta)$ quedando positivo.

Por cierto, un punto que a menudo se pasa por alto en los cursos introductorios es que cuando diferencia una función en un dominio desconectado, cada componente del dominio obtiene su propia constante de integración distinta.

Por lo tanto, si desea hablar con toda la generalidad de cubrir tanto el $x > 1$ y $x < -1$ dominios, debe recordar que cada uno de esos dominios tiene su propia constante de integración separada.

Gracias por una interesante alternativa a mi método. Pero en realidad no aborda la pregunta de si y por qué podemos eliminar el signo absoluto en ese caso... También vea la edición de la pregunta, que muestra que la solución no está dividida en dominios separados.

¿Por qué podemos eliminar el signo absoluto en este caso de sustitución trigonométrica?

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Respuestas (1)

usuario14972

gambitocuadrado

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

¿En qué me equivoqué al resolver ∫x2−1√x4dx∫x2−1x4dx\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx?

Integración de ∫dxx2x2+9√∫dxx2x2+9 \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 9}} usando sustitución trigonométrica

¿Por qué este tipo de sustitución funciona en la integración?

¿Cómo puedo resolver ∫1+x2−−−−−√dx∫1+x2dx\int \sqrt{1+x^2}\,dx? [duplicar]

Evalúa ∫x381x2−16√dx∫x381x2−16dx\int\frac{x^3}{\sqrt{81x^2-16}}dx usando sustitución trigonométrica

¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

¿Cómo integrar ∫1sin4xcos4xdx∫1sin4⁡xcos4⁡xdx\int \frac{1}{\sin^4 x \cos^4 x}\,dx?

¿Hay restricciones que he olvidado para Integración por sustitución trigonométrica o estoy cometiendo algún otro error?

¿Dónde estoy equivocado? ¿Por qué mi respuesta es diferente a la del libro?