¿Por qué este tipo de sustitución funciona en la integración?

Fuente: Forma Integrada$du / (a^2 + u^2)^{3/2}$

como se integra uno$du / (a^2 + u^2)^{3/2}$?

queremos expresar$(a^2 + u^2)^{3/2}$como algo sin raíces cuadradas. Queremos usar alguna forma de la identidad trigonométrica de Pitágoras$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Multiplicando cada lado por$\frac{a^2}{\cos^2 x}$, obtenemos$a^2 \tan^2 x + a^2 = a^2 \sec^2 x$, que está en la forma deseada. de (suma de dos cuadrados) = (algo al cuadrado).

Esto sugiere que deberíamos usar la sustitución$u^2 = a^2 \tan^2 x$. De manera equivalente, sustituimos$u = a \tan x$y$du = a \sec^2 x dx$. Entonces

$$\int \frac{du}{(a^2 + u^2)^{3/2}} = \int \frac{a \sec^2 x \, dx}{(a^2 + a^2 \tan^2 x)^{3/2}}.$$ Aplicando la identidad trigonométrica considerada anteriormente, esto se convierte en $$\int \frac{a \sec^2 x \, dx}{(a^2 \sec^2 x)^{3/2}} = \int \frac{dx}{a^2 \sec x} = \frac{1}{a^2} \int \cos x \, dx,$$ que se puede integrar fácilmente como $$=\frac{1}{a^2} \sin x.$$ Desde que establecimos $u = a \tan x$, volvemos a sustituir $x = \tan^{-1} (\frac ua)$para saber que la respuesta es $$=\frac{1}{a^2} \sin \tan^{-1} \frac{u}{a}.$$ Desde $\sin \tan^{-1} z = \frac{z}{\sqrt{z^2 + 1}}$, esto produce el resultado deseado de $$=\frac{u/a}{a^2 \sqrt{(u/a)^2 + 1}} = \frac{u}{a^2 (a^2 + u^2)^{1/2}}.$$

Tengo una duda con respecto al método de sustitución anterior. Estoy de acuerdo en que "establecemos$u = a \tan x$pero ¿por qué deberíamos volver a sustituir$x = \tan^{-1} (\frac ua)$"?

Quiero decir$x$incluso podría ser$n\pi+\tan^{-1} (\frac ua)$? Esta es mi duda.

Otra duda.$\sin \tan^{-1} \frac{u}{a}=\sin (\sin^{-1} \pm (\frac{u/a} {\sqrt{(u/a)^2 + 1}}))$Entonces, ¿cómo decidimos tomar el signo + o el signo -?

¿Por qué funciona este tipo de sustitución?