Integración de ∫dxx2x2+9√∫dxx2x2+9 \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 9}} usando sustitución trigonométrica

Question

Integración de ∫dxx2x2+9√∫dxx2x2+9 \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 9}} usando sustitución trigonométrica

cálculo
integración
Matemáticas
sustitución
Integrales indefinidas
Integrales trigonométricas

usuario137420

He estado atascado tratando de resolver un problema de integración que involucra sustitución trigonométrica.

\int \frac{d X}{X^{2} \sqrt{X^{2} + 9}}

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 9}}$ Así que sustituí

X = 3 broncearse θ

$x = 3\tan\theta$

d X = 3 {segundo}^{2} θ d θ

$dx = 3\sec^2\theta \,d\theta$

y conecto todo y simplifico hasta obtener

\frac{1}{9} \int \frac{porque θ d θ}{{pecado}^{2} θ}

$\frac{1}{9} \int \frac{ \cos \theta \,d \theta}{\sin^2 \theta}$ sustituyo

tu = pecado θ

$u = \sin \theta$ y

d tu = porque θ d θ

$du = \cos \theta \,d \theta$

e integro y vuelvo a enchufar, en términos de theta y mi respuesta es

\frac{- \csc (θ)}{9} + C

$\frac{-\csc( \theta )}{9} + C$ Sin embargo, tengo que volver a sustituir en mi primera sustitución, que fue la sustitución trigonométrica, para obtener la respuesta final, pero realmente no sé cómo. Sé que necesitamos:

θ = arcán (\frac{X}{3})

$\theta = \arctan(\frac{x}{3})$ pero no estoy seguro de qué hacer después. Lo siento si esto es un poco desordenado, esta es la primera vez que trabajo con látex y mi primera publicación.

Los bucles de Mobius

¿Se le ha indicado que resuelva esto mediante trig. sustituciones? Se puede hacer solo con

u

$u$ sustitución. Dejar

u = \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}

$u=\frac{\sqrt{x^2+9}}{x}$

Respuestas (3)

Integración de ∫dxx2x2+9√∫dxx2x2+9 \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 9}} usando sustitución trigonométrica

¿Se le ha indicado que resuelva esto mediante trig. sustituciones? Se puede hacer solo con $u$ sustitución. Dejar $u=\frac{\sqrt{x^2+9}}{x}$

¿Por qué? · Answer 1

X = 3 broncearse θ ⟺ broncearse θ = \frac{X}{3} ⟹ pecado θ = \frac{X}{\sqrt{X^{2} + 9}} ⟹ \csc θ = \frac{\sqrt{X^{2} + 9}}{X}

$x = 3\tan \theta \iff \tan\theta = \frac x3 \implies \sin\theta = \frac x{\sqrt{x^2 + 9}} \implies \csc \theta = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{x}$

Esto se sigue si consideramos un triángulo rectángulo con catetos $3, x,$ e hipotenusa $\sqrt{x^2 + 9}$ , donde el $\theta$ es el ángulo formado por la intersección del cateto de longitud $3$ con la hipotenusa.

Esto significa

- \frac{\csc θ}{9} = - \frac{\sqrt{X^{2} + 9}}{9 X}

$-\frac{\csc\theta}{9} = -\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{9x}$

Muchas gracias, simplemente no pensé en dibujar un triángulo. Ahora tengo una mejor comprensión de qué hacer para estos problemas de sustitución trigonométrica.

usuario82487 · Answer 2

ahora, usando tu primera expresión $x = 3\tanθ$ , $\tanθ = x/3 =$ opp/adj obtienes los 3 lados de tu triángulo y vuelves a sustituirlos

$= - \sqrt{\frac{1+\cot^2(t)}{9}} = - \sqrt{\frac{ 1+ \frac{1}{\tan^2(t)}}{9}} = -\sqrt{ 1+ \frac{1}{(\frac{x}{3})^2}} = -\sqrt{ \frac{1+\frac{9}{x^2}}{ 9}} = \frac{- \sqrt{9+x^2}} { 9x} + C$

bouzari abdelkader · Answer 3

X = 3 pecado y \Rightarrow d X = 3 aporrear y

$x=3\sinh{y}\Rightarrow dx=3\cosh{y}$

\int \frac{d X}{X^{2} \sqrt{X^{2} + 9}} = \int \frac{(3 aporrear y) d y}{({pecado}^{2} y) (3 aporrear y)} = \int \frac{d y}{{pecado}^{2} y}

$\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}+9}}=\int\frac{(3\cosh{y})dy}{(\sinh^{2}{y})(3\cosh{y})}=\int\frac{dy}{\sinh^{2}{y}}$

bata y = \frac{aporrear y}{pecado y} \Rightarrow d (bata y) = \frac{{pecado}^{2} y - {aporrear}^{2} y}{{pecado}^{2} y} d y = - \frac{d y}{{pecado}^{2} y}

$\coth{y}=\frac{\cosh{y}}{\sinh{y}}\Rightarrow d(\coth{y})=\frac{\sinh^{2}{y}-\cosh^{2}{y}}{\sinh^{2}{y}}dy=-\frac{dy}{\sinh^{2}{y}}$

\int \frac{d X}{X^{2} \sqrt{X^{2} + 9}} = - \int d (bata y) = - bata y + C = - \frac{aporrear y}{pecado y} + C

$\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}+9}}=-\int d(\coth{y})=-\coth{y}+c=-\frac{\cosh{y}}{\sinh{y}}+c$

= - \frac{\sqrt{1 + (\frac{X}{3})^{2}}}{\frac{X}{3}} + C = - \frac{\sqrt{X^{2} + 9}}{X} + C

$=-\frac{\sqrt{1+(\frac{x}{3})^{2}}}{\frac{x}{3}}+c=-\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x}+c$

Integración de ∫dxx2x2+9√∫dxx2x2+9 \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 9}} usando sustitución trigonométrica

usuario137420

Los bucles de Mobius

Respuestas (3)

¿Por qué?

usuario137420

usuario82487

bouzari abdelkader

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