Evalúa ∫x381x2−16√dx∫x381x2−16dx\int\frac{x^3}{\sqrt{81x^2-16}}dx usando sustitución trigonométrica

∫ X 3 81 X 2 − dieciséis d X
comencé a hacer
tu = 9 X
Llegar
∫ tu 9 3 tu 2 − dieciséis d X
que permite la sustitución trigonométrica de
X = a segundo ⁡ θ

haciendo el denominador

dieciséis segundo 2 ⁡ θ − dieciséis
broncearse 2 ⁡ θ + 1 = segundo 2 ⁡ θ
⇒ 4 broncearse ⁡ θ
dar
∫ 4 segundo 9 3 4 broncearse ⁡ θ d X

¿Estoy haciendo esto correctamente?

Respuestas (4)

Si la sustitución trigonométrica no es obligatoria,

hacer la siguiente sustitución

81 X 2 − dieciséis = tu

⟹ 81 X 2 − dieciséis = tu 2 ⟹ 162 X   d X = 2 tu   d tu ⟺ X   d X = tu   d tu 81

y X 2 = tu 2 + dieciséis 81

Espero que puedas tomarlo desde aquí.

Creo que es obligatorio, sin embargo, ¿de dónde saldrías de aquí?
@Jessica, encuentra la versión editada
Buena respuesta ....

Colocar 9 X = 4 segundo ⁡ θ ⟹ 81 X 2 − dieciséis = ( 4 broncearse ⁡ θ ) 2

∫ X 3 81 X 2 − dieciséis d X

= ∫ 4 3 segundo 3 ⁡ θ 9 3 ⋅ 4 broncearse ⁡ θ ⋅ ( signo de broncearse ⁡ θ ) 4 9 segundo ⁡ θ broncearse ⁡ θ   d θ

= 4 3 9 4 ⋅ ( signo de broncearse ⁡ θ ) ∫ ( 1 + broncearse 2 ⁡ θ ) segundo 2 ⁡ θ   d θ

Espero que puedas llevártelo a casa desde aquí.

Obtuve: 4 3 9 3 ( broncearse ⁡ θ + broncearse 3 ⁡ θ 3 ) + C . ¿Es esto correcto?
@Jessica, entonces necesitas volver a reemplazar X . ¿Encuentras la relación entre mis dos respuestas?
¿Cómo se vería esto en términos de x?
@Jessica, 4 broncearse ⁡ θ = (signo de broncearse ⁡ θ ) ( 81 X 2 − dieciséis )
entonces 4 3 9 3 ( 81 X 2 − dieciséis 4 + ( 81 X 2 − dieciséis 4 ) 3 3 ) ?
@Jessica, uso
broncearse ⁡ θ + broncearse 3 ⁡ θ 3 = broncearse ⁡ θ 3 ( 3 + broncearse 2 ⁡ θ )
¡Ah, es una buena idea! ¿Este?:
4 3 9 3 [ 81 X 2 − dieciséis 12 ( 3 + 81 X 2 − dieciséis dieciséis ‌ ​ ) ]

Primero, para responder la pregunta tal como se le hizo, olvidó convertir de d tu a d X , luego de d tu a d θ . Para la primera sustitución,

tu = 9 X , d tu = 9 d X , d X = 1 9 d tu

Entonces, después de ese paso, debe tomar lo que tenía actualmente después del primer paso y dividirlo por 9 . Para la segunda sustitución

tu = 4 segundo ⁡ θ , d tu = 4 segundo ⁡ θ broncearse ⁡ θ d θ

Esto debería dejarte con

∫ 4 3 segundo 3 ⁡ θ 9 4 4 broncearse ⁡ θ ( 4 segundo ⁡ θ broncearse ⁡ θ d θ ) = ∫ 4 3 9 4 ( broncearse 2 ⁡ θ + 1 ) segundo 2 ⁡ θ d θ

Como sustitución alternativa (la sustitución trigonométrica no siempre es la mejor manera), podría usar

tu = 81 X 2 − dieciséis , d tu = 162 X d X
∫ X 3 d X 81 X 2 − dieciséis = ∫ 1 162 X 2 ( 162 X d X ) 81 X 2 − dieciséis = 1 162 ∫ tu + dieciséis 81 d tu tu 1 / 2 =
1 13122 ∫ tu 1 / 2 d tu + 8 6561 ∫ tu − 1 / 2 d tu

Entonces, ¿sería esta la respuesta de lo que estaba trabajando? 4 3 9 3 ( broncearse ⁡ θ + broncearse 3 ⁡ θ 3 ) + C
@Jessica Ahora que miro de nuevo, hiciste lo mismo con la primera sustitución. Estaré actualizando la respuesta.
¿Esto se ve bien?
4 3 9 3 [ 81 X 2 − dieciséis 12 ( 3 + 81 X 2 − dieciséis dieciséis ‌ ​ ) ] + C

Preferiría usar la integración por partes de la siguiente manera:

∫ X 3 81 X 2 − dieciséis d X = 1 81 ∫ X 2 d 81 X 2 − dieciséis = X 2 81 X 2 − dieciséis 81 − 1 6565 ∫ 81 X 2 − dieciséis d ( 81 X 2 − dieciséis ) = X 2 81 X 2 − dieciséis 81 − 2 19683 ( 81 X 2 − dieciséis ) 3 2 + C = 81 X 2 − dieciséis 19683 ( 243 X 2 − 162 X 2 + 32 ) + C = 81 X 2 − dieciséis 19683 ( 81 X 2 + 32 ) + C

Evalúa ∫x381x2−16√dx∫x381x2−16dx\int\frac{x^3}{\sqrt{81x^2-16}}dx usando sustitución trigonométrica
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v