¿En qué me equivoqué al resolver ∫x2−1√x4dx∫x2−1x4dx\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx?

No estoy seguro de que este sea el problema, pero creo que no sé cómo encontrar el$\theta$valor al resolver un problema integral con sustitución trigonométrica.

Obtuve$\frac{\sin^3(\sec^{-1}(x))}{3}+C$para la respuesta, pero la respuesta debería ser,$\frac{1}{3}\frac{(x^2-1)^{3/2}}{x^3}+C$

$$\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx$$

Dejar$x=\sec\theta$

Entonces$dx=\sec\theta\tan\theta d\theta$

$$\int\frac{\sqrt{\sec^2\theta-1}}{\sec^4\theta}\sec\theta\tan\theta d\theta$$

$$=\int\frac{\sec\theta}{\sec^4\theta}\sqrt{\tan^2\theta}\tan\theta d\theta$$

$$=\int\frac{1}{\sec^3\theta} \tan^2\theta d\theta$$

$$=\int\frac{1}{\sec^3\theta}\frac{\sec^2\theta}{\csc^2\theta}d\theta$$

$$=\int\frac{1}{\sec\theta}\frac{1}{\csc^2\theta}d\theta$$

$$=\int \cos\theta\sin^2\theta d \theta$$

Usando$u$-sustituir, dejar$u=\sin\theta$

Entonces$du=\cos\theta d\theta$y$dx = \frac{1}{\cos\theta}du$

$$\int\cos\theta u^2 \frac{1}{\cos\theta}du$$

$$=\int u^2 du$$

$$=\frac{u^3}{3}+C$$

$$=\frac{\sin^3\theta}{3}+C$$

Desde$x=\sec\theta$,$\sec^{-1}(x)=\theta$

$$=\frac{\sin^3(\sec^{-1}(x))}{3}+C$$

¿Qué estoy haciendo mal?