¿Cómo puedo resolver ∫1+x2−−−−−√dx∫1+x2dx\int \sqrt{1+x^2}\,dx? [duplicar]

Question

¿Cómo puedo resolver ∫1+x2−−−−−√dx∫1+x2dx\int \sqrt{1+x^2}\,dx? [duplicar]

cálculo
integración
Matemáticas
sustitución
trigonometría
integrales definidas

nombre_de_usuario_DNE

\int \sqrt{1 + X^{2}} d X

$\int \sqrt{1+x^2}\,dx$

He probado algunas calculadoras paso a paso, pero lo que dan está mucho más allá de mi nivel. ¿Hay alguna forma "simple" de resolver esto?

Jack D´Aurizio

Integración por partes, la sustitución

x = \sinh t

$x=\sinh t$ (o

x = \tan θ

$x=\tan\theta$ ) o ambas son las formas habituales. Y son formas simples: muestre sus esfuerzos para que entendamos sus problemas.

Respuestas (4)

¿Cómo puedo resolver ∫1+x2−−−−−√dx∫1+x2dx\int \sqrt{1+x^2}\,dx? [duplicar]

Integración por partes, la sustitución $x=\sinh t$ (o $x=\tan\theta$ ) o ambas son las formas habituales. Y son formas simples: muestre sus esfuerzos para que entendamos sus problemas.

Michael Hardy · Answer 1

Varias personas han señalado que se puede escribir $x=\tan\theta.$ eso te atrapa $dx=\sec^2\theta\,d\theta$ y $\sqrt{1+x^2}=\sec\theta,$ así que tienes

\int {segundo}^{3} θ d θ .

$\int\sec^3\theta\,d\theta.$ Este es uno de los ejemplos estándar de un truco estándar:

\begin{aligned} \int {segundo}^{3} θ d θ & = \int (segundo θ) ({segundo}^{2} θ d θ) = \overset{integración por partes}{\overset{⏞}{\int tu d v = tu v - \int v d tu}} \\ = segundo θ broncearse θ - \int {broncearse}^{2} θ segundo θ d θ \\ = segundo θ broncearse θ - \int ({segundo}^{2} θ - 1) segundo θ d θ \\ = segundo θ broncearse θ - \int {segundo}^{3} θ d θ + \int segundo θ d θ . \\ Así tenemos & \int {segundo}^{3} θ d θ = (algo) - \int {segundo}^{3} θ d θ . \\ Sumando la integral a \\ ambos lados, obtenemos & 2 \int {segundo}^{3} θ d θ = (algo) . \\ Y entonces & \int {segundo}^{3} θ d θ = \frac{1}{2} (algo) \\ = & \frac{1}{2} (segundo θ broncearse θ + \int segundo θ d θ) . \end{aligned}

$\begin{align} \int \sec^3\theta\,d\theta & = \int(\sec\theta) \Big(\sec^2\theta\,d\theta\Big) = \overbrace{\int u\,dv = uv -\int v\,du}^{\Large\text{integration by parts}} \\[10pt] & = \sec\theta\tan\theta - \int \tan^2\theta\sec\theta\,d\theta \\[10pt] & = \sec\theta\tan\theta - \int(\sec^2\theta-1)\sec\theta\,d\theta \\[10pt] & = \sec\theta\tan\theta - \int\sec^3\theta\,d\theta + \int\sec\theta\,d\theta. \\[15pt] \text{Thus we have } & \int \sec^3\theta\,d\theta = \Big(\text{something}\Big) - \int\sec^3\theta\,d\theta. \\[10pt] \text{Adding the integral to } \\ \qquad \text{both sides, we get } & 2\int\sec^3\theta\,d\theta = \Big(\text{something}\Big). \\[10pt] \text{And so } & \phantom{2}\int\sec^3\theta\,d\theta = \frac 1 2 \Big(\text{something}\Big) \\[10pt] = {} & \frac 1 2 \left( \sec\theta\tan\theta + \int \sec\theta\,d\theta\right). \end{align}$ Entonces tienes el problema de encontrar la última integral, que también es algo desafiante.

Para evaluar esa última integral: Integración de la secante
@MichaelRozenberg: ¿Tenías en mente $\sqrt{1+x^2} = \left|\sec\theta\right|\text{?}$ Probablemente miraría por separado los intervalos en los que la secante es negativa.

haqnatural · Answer 2

Sugerencia : intente sustituir

X = broncearse θ

$x=\tan { \theta }$

miguel rozenberg · Answer 3

miguel rozenberg

$x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$ también ayuda

movimiento de proyectiles

... que es solo otra forma de escribir

\sinh (t)

$\sinh(t)$ , aunque le doy crédito por eso, ya que dado que el OP no entendió la solución dada por las calculadoras paso a paso, es posible que no haya oído hablar de las funciones trigonométricas hiperbólicas.

miguel rozenberg

@projectilemotion Creo que de esta manera es más fácil que con

x = \tan t

$x=\tan{t}$ porque ahí lo conseguimos

\sqrt{\frac{1}{\cos^{2} t}} = \frac{1}{| \cos t |}

$\sqrt{\frac{1}{\cos^2t}}=\frac{1}{|\cos{t}|}$ , que no es tan fácil.

nombre_de_usuario_DNE

el OP de hecho no ha oído/aprendido de las funciones trigonométricas hiperbólicas; Probaré esto. ¡Gracias!

miguel rozenberg

@username_DNE ¡De nada! ¡Buena suerte!

Sir_Math_Cat · Answer 4

Esto es simplemente una sustitución trigonométrica directa con $x=\tan(\theta)$ y $dx=\sec^{2}(\theta)\:d\theta$ . Luego usa la identidad $1+\tan^{2}(\theta)=\sec^{2}(\theta)$ para eliminar la raíz cuadrada e integrar a partir de ahí.

Por cierto, hay un problema con una raíz cuadrada. Ver por favor mi comentario anterior.
El integrando simplemente resulta ser $\sec^{3}(\theta)$ ...

¿Cómo puedo resolver ∫1+x2−−−−−√dx∫1+x2dx\int \sqrt{1+x^2}\,dx? [duplicar]

nombre_de_usuario_DNE

Jack D´Aurizio

Respuestas (4)

Michael Hardy

movimiento de proyectiles

miguel rozenberg

Michael Hardy

miguel rozenberg

haqnatural

miguel rozenberg

movimiento de proyectiles

miguel rozenberg

nombre_de_usuario_DNE

miguel rozenberg

Sir_Math_Cat

miguel rozenberg

Sir_Math_Cat

Evaluando ∫π20sinx√sinx√+cosx√dx∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin x}}{\ sqrt{\sen x}+\sqrt{\cos x}}\, \mathrm{d}x

¿En qué me equivoqué al resolver ∫x2−1√x4dx∫x2−1x4dx\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx?

Integral trigonométrica ∫π/40dxcos4x−cos2xsin2x+sin4x∫0π/4dxcos4⁡x−cos2⁡xsin2⁡x+sin4⁡x\int _0^{\pi/4}\:\frac{dx}{\cos^4x-\ cos^2x\sen^2x+\sen^4x}

¿Por qué podemos eliminar el signo absoluto en este caso de sustitución trigonométrica?

¿Por qué este tipo de sustitución funciona en la integración?

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Forma cerrada de integral definida de 2006 MIT Integration Bee [cerrado]

Sustitución trigonométrica inversa para integrales

¿Cuál es la fórmula correcta para el método de la lavadora?

¿Hay restricciones que he olvidado para Integración por sustitución trigonométrica o estoy cometiendo algún otro error?