¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

Question

¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

integración
Matemáticas
sustitución
análisis real
Integrales indefinidas
Integrales trigonométricas

Sashank Sriram

Traté de resolver la integral.

\int \frac{{porque}^{2} X pecado X}{pecado X - porque X} d X

$\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x}\, dx$ las siguientes maneras:

Expresando cada función en forma de $\tan \left(\frac{x}{2}\right)$ , $\cos \left(\frac{x}{2}\right)\,$ y $\,\sin \left(\frac{x}{2}\right)\,$ independientemente, pero eso no me fue bien.
Multiplicando y dividiendo por $\cos^2x$ o $\sin^2x$ .
expresando $\cos^2x$ como $1-\sin^2x$ y dividiendo la integral, y me quedé atrapado con $\int \left(\frac{\sin^3x}{\sin x - \cos x}\right)\, dx$ que reescribí como $\int \frac{\csc^2x}{\csc^4x (1-\cot x) } dx,\,$ y probé toda una gama de sustituciones solo para fallar.
Traté de sustituir $\frac{1}{ \sin x - \cos x}$ , $\frac{\sin x}{ \sin x - \cos x}$ , $\frac{\cos x \sin x}{ \sin x - \cos x}$ y $\frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x},$ independientemente, ninguno de los cuales parecía funcionar.
Expresé el denominador como $\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ e intenté multiplicar y dividir por $\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$ , y realizó algunas sustituciones. Luego, repetí lo mismo con $\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$ . Ninguno de los dos funcionó.

Respuestas (6)

¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

miguel rozenberg · Answer 1

\int \frac{{porque}^{2} X pecado X}{pecado X - porque X} d X =

$\int\frac{\cos^2x\sin{x}}{\sin{x}-\cos{x}}dx=$

= \int (\frac{{porque}^{2} X pecado X}{pecado X - porque X} + \frac{1}{2} pecado X (pecado X + porque X)) d X - \frac{1}{2} \int pecado X (pecado X + porque X) d X =

$=\int\left(\frac{\cos^2x\sin{x}}{\sin{x}-\cos{x}}+\frac{1}{2}\sin{x}(\sin{x}+\cos{x})\right)dx-\frac{1}{2}\int\sin{x}(\sin{x}+\cos{x})dx=$

= \frac{1}{2} \int \frac{pecado X}{pecado X - porque X} - \frac{1}{2} \int pecado X (pecado X + porque X) d X =

$=\frac{1}{2}\int\frac{\sin{x}}{\sin{x}-\cos{x}}-\frac{1}{2}\int\sin{x}(\sin{x}+\cos{x})dx=$

= \frac{1}{2} \int (\frac{pecado X}{pecado X - porque X} - \frac{1}{2}) d X - \frac{1}{2} \int (pecado X (pecado X + porque X) - \frac{1}{2}) d X =

$=\frac{1}{2}\int\left(\frac{\sin{x}}{\sin{x}-\cos{x}}-\frac{1}{2}\right)dx-\frac{1}{2}\int\left(\sin{x}(\sin{x}+\cos{x})-\frac{1}{2}\right)dx=$

= \frac{1}{4} \int \frac{pecado X + porque X}{pecado X - porque X} d X - \frac{1}{2} \int (pecado X (pecado X + porque X) - \frac{1}{2}) d X =

$=\frac{1}{4}\int\frac{\sin{x}+\cos{x}}{\sin{x}-\cos{x}}dx-\frac{1}{2}\int\left(\sin{x}(\sin{x}+\cos{x})-\frac{1}{2}\right)dx=$

= \frac{1}{4} en | pecado X - porque X | - \frac{1}{4} \int (2 {pecado}^{2} X - 1 + pecado 2 X) d X .

$=\frac{1}{4}\ln|\sin{x}-\cos{x}|-\frac{1}{4}\int\left(2\sin^2{x}-1+\sin2x\right)dx.$ ¿Puedes terminarlo ahora?

DXT · Answer 2

Dejar $\displaystyle I =\frac{1}{2}\int\frac{2\cos^2 x\cdot \sin x}{\sin x-\cos x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(1+\cos 2x)\cdot \sin x}{\sin x-\cos x}dx$

Entonces $\displaystyle I =\frac{1}{4}\int \frac{2\sin x}{\sin x-\cos x}dx+\frac{1}{2}\int\frac{\cos 2x\cdot \sin x}{\sin x-\cos x}dx$

ahora escribiendo

$2\sin x=(\sin x+\cos x)+(\sin x-\cos x)$

y $\cos (2x)=\cos^2 x-\sin^2 x.$

laboratorio bhattacharjee · Answer 3

Pista:

Dejar $\dfrac\pi4-x=y$

$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin y$

$\sin x=\dfrac{\cos y-\sin y}{\sqrt2}$

$2\cos^2x=1+\cos2x=1+2\sin y\cos y$

\frac{(porque y - pecado y) (1 + 2 pecado y porque y)}{pecado y} = 2 {porque}^{2} y - 2 pecado y porque y + cuna y - 1 = porque 2 y - pecado 2 y + cuna y

$\dfrac{(\cos y-\sin y)(1+2\sin y\cos y)}{\sin y}=2\cos^2y-2\sin y\cos y+\cot y-1=\cos2y-\sin2y+\cot y$

bombilla · Answer 4

Una sustitución estándar para integrales de funciones racionales de funciones trigonométricas es $t=\tan \frac{x}{2}$ .

Luego aprenda a integrar funciones racionales: sosmath.com/calculus/integration/rational/rational.html @Sashank Sriram

Dr. Sonnhard Graubner · Answer 5

pruébalo con

pecado (X) = \frac{2 t}{1 + t^{2}}

$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$

porque (X) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

d X = \frac{2 d t}{1 + t^{2}}

$dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ obtendrás esta integral

\int \frac{4 t {(t^{2} - 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{3} (t^{2} + 2 t - 1)} d t

$\int \frac{4 t \left(t^2-1\right)^2}{\left(t^2+1 \right)^3 \left(t^2+2 t-1\right)}dt$ y esto es

\int (1 / 2 \frac{- t + 1}{t^{2} + 1} + \frac{- 4 t + 4}{{(t^{2} + 1)}^{3}} + 1 / 2 \frac{t + 1}{t^{2} + 2 t - 1} + \frac{2 t - 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) d t

$\int \left(1/2\,{\frac {-t+1}{{t}^{2}+1}}+{\frac {-4\,t+4}{ \left( {t}^{2}+1 \right) ^{3}}}+1/2\,{\frac {t+1}{{t}^{2}+2\,t-1}}+{\frac {2\,t-4}{ \left( {t}^{2}+1 \right) ^{2}}}\right) dt$

Seguir ese método me llevó a una fracción desordenada, que no me lleva a ninguna parte.

punto omega · Answer 6

Para integrandos que son una función racional de seno y coseno, como una guía para qué sustitución trigonométrica se puede probar, se pueden usar las Reglas de Bioche .

Aquí observe la forma diferencial

w (X) = F (pecado X, porque X) d X = \frac{{porque}^{2} X pecado X}{pecado X - porque X} d X

$w(x) = f(\sin x, \cos x) \, dx = \frac{\cos^2 x \sin x}{\sin x - \cos x} \, dx$ es invariante bajo la sustitución

x \mapsto π + x

$x \mapsto \pi + x$ , eso es,

w (π + x) = w (x)

$w(\pi + x) = w(x)$ . Esto sugiere una sustitución de

t = \tan x

$t = \tan x$ puede ser usado. Como

d t = \sec^{2} x d x

$dt = \sec^2 x \, dx$ reescribimos el integrando como el producto entre una función racional que consta de

\tan x

$\tan x$ términos y un

\sec^{2} x

$\sec^2 x$ términos. Al hacerlo tenemos

\begin{aligned} I & = \int \frac{{porque}^{2} X pecado X}{pecado X - porque X} d X \\ = \int \frac{{porque}^{2} X pecado X}{pecado X - porque X} \cdot \frac{{segundo}^{2} X}{{segundo}^{2} X} d X \\ = \int \frac{broncearse X}{(broncearse X - 1) (1 + {broncearse}^{2} X)^{2}} \cdot {segundo}^{2} X d X . \end{aligned}

$\begin{align} I &= \int \frac{\cos^2 x \sin x}{\sin x - \cos x} \, dx\\ &= \int \frac{\cos^2 x \sin x}{\sin x - \cos x} \cdot \frac{\sec^2 x}{\sec^2 x} \, dx\\ &= \int \frac{\tan x}{(\tan x - 1)(1 + \tan^2 x)^2} \cdot \sec^2 x \, dx. \end{align}$ Ahora deja

t = \tan x

$t = \tan x$ . Hacerlo produce

\begin{aligned} I & = \int \frac{t}{(t - 1) (1 + t^{2})^{2}} d t \\ = \int [\frac{1}{4 (t - 1)} - \frac{t + 1}{4 (t^{2} + 1)} + \frac{1 - t}{2 (1 + t^{2})^{2}}] d t \\ = \frac{1}{4} en | t - 1 | - \frac{1}{8} en | 1 + t^{2} | + \frac{t}{4 (1 + t^{2})} + C \\ = \frac{1}{4} en | broncearse X - 1 | + \frac{1}{4} en | porque X | + \frac{1}{4} (1 + broncearse X) {porque}^{2} X + C . \end{aligned}

$\begin{align} I &= \int \frac{t}{(t - 1)(1 + t^2)^2} \, dt\\ &= \int \left [\frac{1}{4(t - 1)} - \frac{t + 1}{4(t^2 + 1)} + \frac{1 - t}{2(1 + t^2)^2} \right ] \, dt\\ &= \frac{1}{4} \ln |t - 1| - \frac{1}{8} \ln |1 + t^2| + \frac{t}{4(1 + t^2)} + C\\ &= \frac{1}{4}\ln |\tan x - 1| + \frac{1}{4} \ln |\cos x| + \frac{1}{4} (1 + \tan x) \cos^2 x + C. \end{align}$ o después de jugar con algunas identidades trigonométricas

\int \frac{{porque}^{2} X pecado X}{pecado X - porque X} d X = \frac{1}{4} en | pecado X - porque X | + \frac{1}{8} (porque 2 X + pecado 2 X) + C .

$\int \frac{\cos^2 x \sin x}{\sin x - \cos x} \, dx = \frac{1}{4} \ln |\sin x - \cos x| + \frac{1}{8} (\cos 2x + \sin 2x) + C.$

¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

Sashank Sriram

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bombilla

bombilla

Dr. Sonnhard Graubner

Sashank Sriram

punto omega

Resolviendo la integral indefinida ∫1x2+x+1dx∫1x2+x+1dx\int \frac{1}{x^2+x+1} dx

Integración de ∫dxx2x2+9√∫dxx2x2+9 \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 + 9}} usando sustitución trigonométrica

Integral ∫dxtanx+cotx+cscx+secx∫dxtan⁡x+cot⁡x+csc⁡x+sec⁡x\int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \csc x + \sec x}

Evalúa ∫x381x2−16√dx∫x381x2−16dx\int\frac{x^3}{\sqrt{81x^2-16}}dx usando sustitución trigonométrica

Integra ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Concilia diferentes formas de ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

Integral: ∫dx(x2−4x+13)2∫dx(x2−4x+13)2\int \dfrac{dx}{(x^2-4x+13)^2}?

¿Cuál es la definición formal de una integral indefinida?

Diferencia entre función integral y antiderivada.

Integrar ∫sin(2x)(senx+cosx)2dx∫sin⁡(2x)(sin⁡x+cos⁡x)2dx\int \frac {\sin (2x)}{(\sin x+\cos x)^2 }\,dx