¿Cuáles son las condiciones formales necesarias y suficientes para que u-sub funcione?

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¿Cuáles son las condiciones formales necesarias y suficientes para que u-sub funcione?

cálculo
integración
Matemáticas
sustitución
Integración de Riemann

Alcaudón

Mi libro hizo la interesante afirmación de que, si $x=\varphi(u)$ es nuestra función u-sub, la técnica de sustitución solo se cumplirá si:

Es una biyección en el dominio de la integración (esto tiene sentido)
es continuamente diferenciable
Su derivado no está en ninguna parte cero en el interior.

Usaremos la integral de Riemann aquí. no estoy seguro si $2)$ puede ser debilitado, o si $3$ es estrictamente necesario, aunque compro bastante el argumento del libro, he escuchado condiciones $2,3$ en ningún otro lugar antes, así que quiero consultar con la comunidad si esto es correcto. El libro es Cálculo Diferencial e Integral de Courant - ¡es bueno, pero no 100% riguroso!

Su argumento, parafraseado:

Llevar $I_x=[a,b]\subset\Bbb R$ . Supongamos que existe algún $\varphi:I_u\to I_x$ que es una biyección y $I_u$ es compacto En la integral de Riemann $\int_a^b f(x)\,dx$ , podemos sustituir, tomando las particiones etiquetadas en $x,u$ como $(x_n,t_n),(u_n,s_n)$ :
$\begin{aligned} \int_{I_{X}} F (X) d X = \sum F (t_{norte}) (X_{norte + 1} - X_{norte}) \overset{1}{=} & \sum (F \circ φ) (s_{norte}) (φ ({tu}_{norte + 1}) - φ ({tu}_{norte})) \\ \overset{2}{=} & \sum (F \circ φ) (s_{norte}) \cdot φ^{'} (ξ_{norte}) ({tu}_{norte + 1} - {tu}_{norte}) \\ \overset{3}{\to} & \int_{I_{tu}} (F \circ φ) (tu) \cdot φ^{'} (tu) d tu \end{aligned}$ $\begin{align}\int_{I_x}f(x)\,dx=\sum f(t_n)(x_{n+1}-x_n)\overset{1}{=}&\sum (f\circ\varphi)(s_n)(\varphi(u_{n+1})-\varphi(u_n))\\\overset{2}{=}&\sum(f\circ\varphi)(s_n)\cdot\varphi'(\xi_n)(u_{n+1}-u_n)\\\overset{3}{\to}&\int_{I_u}(f\circ\varphi)(u)\cdot\varphi'(u)\,du\end{align}$ Paso $1$ requerido $\varphi$ ser una biyección; paso $2$ requerido $\varphi$ ser diferenciable en cada $(u_{n+1},u_n)$ , y paso $3$ requerido $f\circ\varphi$ , $\varphi'$ tanto para ser integrables, como para $\varphi'$ ser continua como su valor medio $\xi$ necesita ser exprimido al mismo valor etiquetado $s_n$ , por definición de integral de Riemann.

Ahora soy consciente de que si tomo $2,3$ , el teorema de la función inversa garantiza que $\varphi$ es de hecho una biyección y que todo está bien. Sin embargo, en el análisis de la suma de Riemann, solo requerimos que $\varphi'(\xi)$ es distinto de cero; tal como yo lo veo, todavía podríamos tener algún punto dentro $I_u$ dónde $\varphi'$ es cero, y simplemente elija la partición de modo que nunca sea el valor medio; esto funciona, ¿verdad? Sé que si los puntos donde $\varphi$ tiene $0$ derivada son máximos o mínimos, perdemos la invertibilidad, pero si es un punto de inflexión, hasta donde yo sé, todavía podemos tenerlo como una función invertible. Sí, su inversa no sería diferenciable en ese punto, pero seguramente no nos importa ya que solo $\varphi$ está involucrado en la integración, ¿verdad?

También me pregunto si la condición $2$ puede debilitarse: en la integral de Riemann, creo que podemos elegir nuestras particiones, por lo que tal vez sería posible elegir una partición $s_n$ (con $\varphi(s_n)=t_n$ ) tal que $s_n=\xi_n$ , y la continuidad de $\varphi'$ podría estar relajado.

¿Cuáles son realmente las condiciones necesarias? Y si Courant tiene toda la razón, ¡agradecería que alguien pudiera corregir mi pensamiento excesivo aquí!

Nota al margen: no he estudiado mucho la integración de Lebesgue. ¿U-sub todavía funciona allí?

Mateo torres

Si

f

$f$ es continuo y

ϕ

$\phi$ es continuamente diferenciable entonces

\int_{a}^{b} f (ϕ (x)) ϕ^{'} (x) d x = \int_{ϕ (b)}^{ϕ (a)} f (x) d x

$\int_a ^b f(\phi(x)) \phi'(x) dx = \int^{\phi(a)}_{\phi(b)} f(x) dx$ . No es necesario para

ϕ

$\phi$ sea una biyección o que la derivada no desaparezca. La prueba es solo una aplicación de la FTC, puede encontrarla en la página wiki .

Alcaudón

@MatthewTowers También muestra esa prueba ... pero literalmente escribe "asumimos

u = ψ (x)

$u=\psi(x)$ es monótono y de derivada que no se desvanece" - ¿por qué podría haber gastado casi dos páginas si su resultado es incorrecto?

Alcaudón

También estoy tratando de ir en la dirección opuesta: si empezamos con

\int f (x) d x

$\int f(x)\,dx$ , queremos llegar a

\int f (ϕ (u)) \cdot ϕ^{'} (u) d u

$\int f(\phi(u))\cdot\phi'(u)\,du$ - ¿Eso cambia algo?

Respuestas (1)

¿Cuáles son las condiciones formales necesarias y suficientes para que u-sub funcione?

Si $f$ es continuo y $\phi$ es continuamente diferenciable entonces $\int_a ^b f(\phi(x)) \phi'(x) dx = \int^{\phi(a)}_{\phi(b)} f(x) dx$ . No es necesario para $\phi$ sea una biyección o que la derivada no desaparezca. La prueba es solo una aplicación de la FTC, puede encontrarla en la página wiki .
@MatthewTowers También muestra esa prueba ... pero literalmente escribe "asumimos $u=\psi(x)$ es monótono y de derivada que no se desvanece" - ¿por qué podría haber gastado casi dos páginas si su resultado es incorrecto?
También estoy tratando de ir en la dirección opuesta: si empezamos con $\int f(x)\,dx$ , queremos llegar a $\int f(\phi(u))\cdot\phi'(u)\,du$ - ¿Eso cambia algo?

SV-97 · Answer 1

SV-97

No he pensado completamente en tu pensamiento, pero u-sub es esencialmente un caso especial del teorema de transformación (de Jacobi):

Dejar $\Omega \subseteq \Bbb R^n$ ser un conjunto abierto y $\phi : \Omega \to \phi(\Omega) \subseteq \Bbb R^n$ un difeomorfismo. Entonces $f$ es integrable en $\phi(\Omega)$ si y si $x \mapsto f(\phi(x)) |\det(J_\phi(x))|$ es integrable en $\Omega$ y en este caso tenemos

\int_{ϕ (Ω)} F (X) d X = \int_{Ω} F (ϕ (X)) | det j_{ϕ} (X) | d X

$\int_{\phi(\Omega)}f(x) dx = \int_\Omega f(\phi(x)) |\det{J_\phi(x)}| dx$ dónde

J_{ϕ} (x)

$J_\phi(x)$ denota la matriz jacobiana de

ϕ

$\phi$ .

Un difeomorfismo es una biyección que es en todas partes continuamente diferenciable con inversa continuamente diferenciable. u-sub regular es el $\Bbb R$ caso de este teorema.

El teorema no tiene un artículo independiente en la wikipedia en inglés, pero se incluye en el artículo de integración por sustitución ( https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution#Substitution_for_multiple_variables ) junto con otras generalizaciones y cómo se ve la situación la integral de Lebesgue.

Teniendo esto en cuenta: su conclusión de que $\phi'$ tal vez $0$ en algún punto es correcto: esta es la generalización a través del teorema de Sard. También puede relajar la condición de que $\phi'$ es continuo - pero esto trae consigo la nueva condición de $\phi^{-1}$ ser continuo (y tener que existir).

Alcaudón

Gracias por presentarme el Teorema de Sard. Me encantaría ver la prueba de esto, pero el "teorema de la transformación de Jacobi" me da enlaces a la probabilidad y las estadísticas... ¿dónde puedo encontrar una prueba?

SV-97

Ah, parece que el nombre que usé es común en Alemania. Busque "cambio de fórmula variable". El de la teoría de la probabilidad es básicamente el mismo teorema o un caso especial del mismo, solo que expresado de manera un poco diferente. Una prueba del teorema específico que establecí se puede encontrar en el cálculo de variedades de Spivak en la página 67 (probablemente pueda encontrar una prueba en la mayoría de los libros sobre cálculo de variedades o textos avanzados de análisis real, aunque muchos de ellos probablemente involucren formas diferenciales). también puede consultar libros sobre teoría de la medida y "medidas de avance".)

Alcaudón

Disculpe, ¿por qué razón toma el valor absoluto del determinante? Esto ciertamente causa errores incluso para un

1 D

$1D$ cambio de variable -

ϕ^{'}

$\phi'$ puede ser negativo...

Alcaudón

¿Es esto quizás una cosa de Lebesgue - vs - Riemann? La integral de Riemann ciertamente no se preocupa por la orientación de un intervalo...

SV-97

De hecho no lo hace. Tenga en cuenta que nunca cambiamos la orientación en la transformación. por ejemplo, considerar

ϕ (x) = b - x + a

$\phi(x) = b-x+a$ como un difeomorfismo en

I = (a, b)

$I=(a,b)$ , entonces el teorema nos dice que:

\int_{ϕ (I)} F (X) d X = \int_{I} F (b - X + a) | - 1 | d X = \int_{I} F (b - X + a) d X

$\int_{\phi(I)} f(x) dx = \int_I f(b-x+a) |-1| dx = \int_I f(b-x+a) dx$ lo cual es cierto, ya que

ϕ (I) = I

$\phi(I)=I$ . Básicamente dice que no importa si estás sumando de adelante hacia atrás o de atrás hacia adelante.

Alcaudón

No he estudiado mucho la integral de Lebesgue, sé que divide el rango de

f

$f$ , en lugar del dominio, por lo que la integral sobre

I

$I$ de hecho, es realmente independiente del orden de suma, y no tomar el valor absoluto conduciría a errores, pero si estoy haciendo una integral de Riemann con puntos finales bien definidos, entonces tomar el valor absoluto es incorrecto en ese caso. Cuando veo tales teoremas, con valor absoluto, y el subíndice

I

$I$ notación, entonces debería asumir una integral de Lebesgue?

SV-97

Tal vez un ejemplo ayude. Considere el difeomorfismo de arriba y f(x)=x. Entonces nosotros tenemos

\int_{a}^{b} f (x) d x = \frac{b^{2} - a^{2}}{2}

$\int_a^b f(x) dx = \frac{b^2-a^2}{2}$ por integración directa. Si en cambio usamos el teorema obtenemos

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (b - x + a) d x = \int_{b}^{a} f (x) | \frac{d}{d x} (b - x + a) | d x = \int_{a}^{b} f (x) d x

$\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(b-x+a) dx = \int_b^a f(x) |\frac{d}{dx}(b-x+a)|dx = \int_a^b f(x) dx$ donde la penúltima igualdad es el u-sub regular que conoces. Esto no tiene nada que ver con Lebesgue contra Riemann.

Alcaudón

Tu igualdad final dice:

\int_{b}^{a} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x

$\int_b^a f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$ , que está mal en la teoría de integración con la que estoy familiarizado

SV-97

Oh, lo siento, escribí mal. Eso debería leer

\frac{d}{d x} (b - x + a)

$\frac{d}{dx}(b-x+a)$ sin el valor absoluto ya que, como escribí, este paso usa el u-sub normal.

Alcaudón

Usando el teorema, encontramos

ϕ (Ω) = [b, a]

$\phi(\Omega)=[b,a]$ , con los puntos finales cambiados. Entonces el teorema dice:

\int_{b}^{a} F (X) d X = \int_{a}^{b} F (b - X + a) \cdot | (- 1) | d X = \int_{a}^{b} F (X) d X

$\int_b^a f(x)\,dx=\int_a^b f(b-x+a)\cdot|(-1)|\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$ Lo cual no es cierto en el sentido de Riemann, ¿verdad? Entonces mi lectura de este teorema es confusa, ya que aunque

ϕ (I) = I

$\phi(I)=I$ , la orientación seguramente debe importar, ¡a menos que usemos una integral diferente!

SV-97

No, el teorema no te dice que cambies la orientación:

ϕ (Ω)

$\phi(\Omega)$ es solo

I

$I$ . Así que todavía estás integrándote desde

a

$a$ a

b

$b$ .

Alcaudón

Ok eso es lo que estaba buscando! Gracias, esto ha sido un infierno de notación.

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Mateo torres

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