Derivando la propiedad de la Función Gamma

Dejar$f(x)=x^{s-1}e^{-x}, F(y)= \int_0^y f(x)dx$,$G(y) = F(ny)$entonces$G'(x) =n F'(nx)= n f(nx)$de este modo

Alquiler$y\to \infty$obtienes el cambio de fórmula variable

$u=nx, du=ndx, du={1\over n}dx$,$x^{s-1}=e^{(s-1)ln(x)}=e^{(s-1)ln({u\over n})}$.

$\int_0^{\infty}e^{-nx}x^{s-1}dx=$

${1\over n}\int_0^{\infty}e^{-u}e^{ln({u\over n})(s-1)}du=$

${1\over n}\int_0^{\infty}e^{-u}e^{(s-1)ln(u)-(s-1)ln(n)}du$

${1\over n}\int_0^{\infty}e^{-u}e^{(s-1)ln(u)}e^{-(s-1)ln(n)}du$

$={1\over n}\int_0^{\infty}e^{-u}u^{s-1}n^{1-s}du$