Supermatrices unitarias

Estoy leyendo el artículo de Efetov sobre Localización de Anderson, donde se usa algún tipo de formalismo supersimétrico, y actualmente estoy tratando de dar sentido a las definiciones. La referencia más útil es este largo artículo de revisión , en torno a la ecuación 2.20.

Aquí están las definiciones útiles. Solo usaré supermatrices de 2x2, que es suficiente para mi pregunta, y escribiré números complejos con letras latinas y números de Grassmann con letras griegas.

El complejo conjugado de un número de Grassmann θ es θ ∗ , y usamos la definición

( θ ∗ ) ∗ = − θ .

una supermatriz F toma la forma

F = ( a θ η b ) ,
y su traspuesta se define como
F T = ( a − η θ b ) ,
lo que implica la agradable propiedad de que si denotamos el conjugado hermitiano por F † = ( F T ) ∗ , entonces ( F † ) † = F . (NB: es importante que los elementos de Grassmann de F son complejos para tener esta propiedad).

una supermatriz tu se dice que es unitario si

tu tu † = tu † tu = 1.

Ahora aquí está la pregunta. Escribiendo tu en forma de F , estoy tratando de encontrar la forma más general de tu tal que es unitario. El problema es que no puedo encontrar una manera consistente de hacerlo.

Las ecuaciones relevantes, utilizando tu tu † = tu † tu = 1 , son

| a | 2 − θ ∗ θ = 1 , | b | 2 + η ∗ η = 1 , | a | 2 − η ∗ η = 1 , | b | 2 + θ ∗ θ = 1 , a θ ∗ + b ∗ η = 0 , a ∗ η + b θ ∗ = 0 ,
así como el complejo conjugado de las dos últimas ecuaciones.

Jugando con esto, uno encuentra (sin ninguna suposición) que | a | 2 + | b | 2 = 2 y η ∗ η = θ ∗ θ . Ahora suponiendo que a ≠ 0 , uno obtiene η = − b / a ∗ θ ∗ , lo que implica que (si θ ∗ ≠ 0 ) | a | 2 = | b | 2 = 1 .

Aquí viene el problema: también tenemos que | a | 2 − θ ∗ θ = 1 lo que implica que θ ∗ θ = 0 , lo que no es posible, a menos que θ ∗ = θ , pero esto rompe nuestra suposición (importante) de que θ es complejo (tener ( tu † ) † = tu ).

Si en cambio tenemos a = 0 , esto implica θ ∗ θ = − 1 , y no estoy seguro de cómo interpretar esto... (Sí, θ ∗ θ es bosónico, pero no creo que esta igualdad tenga sentido, ya que si integramos con respecto a θ y θ ∗ ambos lados, obtenemos 1 = 0 ...).

De lo contrario, uno podría simplemente imponer θ = η = 0 , pero en ese caso, realmente no tiene sentido definir supermatrices unitarias, ya que su efecto es algo trivial (es decir, cambiar la fase de los bosones y fermiones de forma independiente).

¿Difiere la multiplicación de supermatrices de la multiplicación de matrices ordinaria? No soy versado en el tema, pero solo siguiendo lo que has escrito y usando la multiplicación de matrices obtengo diferentes ecuaciones por ser unitarias. Es decir, obtengo que algunos (pero no todos) de sus signos menos sean signos más y viceversa.
Sí, la multiplicación de matrices es lo mismo. Pero θ ∗ θ = − θ θ ∗ , lo que podría explicar algunos signos.

Respuestas (1)

El problema estaba en suponer que porque uno tiene

( | b | 2 − | a | 2 ) θ ∗ = 0 ,
entonces | b | 2 = | a | 2 . De hecho, lo único que te dice es que
| b | 2 = | a | 2 + σ θ ∗ ,
dónde σ puede ser otro grassmaniano (o un número complejo). De hecho, se puede comprobar que las dos ecuaciones independientes | b | 2 = 1 − θ ∗ θ y | a | 2 = 1 + θ ∗ θ son compatibles con ( | b | 2 − | a | 2 ) θ ∗ = 0 .

La mejor manera de resolver las ecuaciones anteriores es resolver las ecuaciones para a y b en términos de θ ∗ θ . uno obtiene

a = mi i α ( 1 + θ ∗ θ 2 ) , b = mi i β ( 1 − θ ∗ θ 2 ) ,
con α y β dos fases arbitrarias. Entonces la ecuación que une η y θ ∗ se usa para conseguir
η = − mi i ( α + β ) θ ∗ .
A continuación, se comprueba que estos resultados son compatibles con todas las ecuaciones de la pregunta.

Así, una supermatriz unitaria general de 2x2 está parametrizada por sólo tres números: dos números reales α y β , y un número de Grassman θ , y se lee

tu = ( mi i α ( 1 + θ ∗ θ 2 ) θ − mi i ( α + β ) θ ∗ mi i β ( 1 − θ ∗ θ 2 ) . )

Entonces se comprueba que es efectivamente superunitario.

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